Точка C лежит на биссектрисе острого угла с вершиной S. Точки P, Q — проекции C на стороны угла. Окружность с центром C и радиусом PQ пересекает стороны угла в точках A и B, причем…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 15

Задание №15 · Математика · Олимпиада

Разность двух углов треугольника больше 90◦. Докажите, что отношение радиусов его описанной и вписанной окружностей больше 4.…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 15

Задание №15 · Математика · Олимпиада

Дан выпуклый четыр¨ехугольник ABCD. Точки X и Y лежат на продолжениях за точку D сторон CD и AD соответственно, причем DX = AB и DY = BC. Аналогично, точки Z и T лежат на продолжен…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 16

Задание №16 · Математика · Олимпиада

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции ABCD и параллельная ее основаниям, пересекает боковую сторону AB в точке M. Пусть K — проекция M на CD. Докажите, что…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 16

Задание №16 · Математика · Олимпиада

Точка Фейербаха неравнобедренного треугольника лежит на биссектрисе одного из его углов. Докажите, что она делит пополам отрезок между вершиной этого угла и центром вписанной окруж…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 16

Задание №16 · Математика · Олимпиада

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA , BB и CC . Отрезки BB 1 1 1 1 и A C пересекаются в точке D. Точка E –— проекция точки D на сторону AC. Точки 1 1 P и Q лежат на сторона…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 16

Задание №16 · Математика · Олимпиада

В треугольнике ABC проведены высоты AH и BH . Прямая H H пересе- A B A B кает описанную окружность треугольника ABC в точках P и Q. Точка A′ симметрична точке A относительно BC, то…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 17

Задание №17 · Математика · Олимпиада

Дан остроугольный треугольник ABC с ортоцентром H и центром описанной окружности O. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках B и C пересекаются в точке T. Точки…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 17

Задание №17 · Математика · Олимпиада

Пусть O, I — центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного остроугольного треугольника ABC; D, E, F — точки касания его вневписанной окружности со стороной BC и продол…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 17

Задание №17 · Математика · Олимпиада

Окружность !, вписанная в неравнобедренный треугольник ABC, касается его сторон BC;CA и AB в точках D;E и F соответственно. Точка M на луче EF такова, что EM = AB. Точка N на луче …

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 17

Задание №17 · Математика · Олимпиада

Общая внешняя касательная к окружностям ω и ω касается их в точках T , 1 2 1 T соответственно. Пусть A — произвольная точка на продолжении отрезка T T за 2 1 2 точку T , а B — точк…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 18

Задание №18 · Математика · Олимпиада

Дана точка P внутри треугольника △ABC. Прямые BP;CP повторно пересекают окружность ABC в точках E;F соответственно. Окружность Ω проходит через точки P;E и пересекает прямую AC в т…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 18

Задание №18 · Математика · Олимпиада

Дан четырехугольник ABCD. Вневписанные окружности ω и ω треуголь- 1 2 ников ABC и BCD, касающиеся сторон AB и BD соответственно, касаются продолжения стороны BC в общей точке P. От…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 18

Задание №18 · Математика · Олимпиада

Пусть AA , BB , CC — высоты остроугольного треугольника ABC; I — 1 1 1 a центр вневписанной окружности, соответствующей вершине A; I′ — точка, симметa ричная I относительно прямой …

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 18

Задание №18 · Математика · Олимпиада

Восстановите вписанно-описанный четыр¨ехугольник ABCD по серединам дуг AB, BC, CD его описанной окружности. 3…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 19

Задание №19 · Математика · Олимпиада

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A′, B′, C′ соответственно. Точки A , A , B , C — середины b c a a отрезков A′B, A′C, B′A, C…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 19

Задание №19 · Математика · Олимпиада

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC; A′, B′, C′ — ортоцентры треугольников BIC, AIC, AIB; M , M , M — середины BC, CA, AB, а a b c S , S , S — середины AA′, BB′, …

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 19

Задание №19 · Математика · Олимпиада

На плоскости начерчены треугольник ABC, описанная около него окружность и центр I его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 19

Задание №19 · Математика · Олимпиада

Дан вписанный четыр¨ехугольник ABCD. Произвольная окружность, проходящая через точки C и D, пересекает прямые AC, BC в точках X, Y соответственно. Найдите ГМТ пересечения окружност…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 20

Задание №20 · Математика · Олимпиада

Высоты AA , BB , CC треугольника ABC повторно пересекают описанную 1 1 1 около него окружность в точках A , B , C . Пусть A — точка пересечения окруж- 2 2 2 3 ностей ABC и AB C , о…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 20

Задание №20 · Математика · Олимпиада

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, а M и N — середины BC и AH соответственно. Перпендикуляр из N к прямой MH пересекает BC в точке A′. Точки B′ и C′ определяются а…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 20

Задание №20 · Математика · Олимпиада

Через вершины A, B, C треугольника ABC провели прямые a ;b ;c со- 1 1 1 ответственно. Отразим a , b , c относительно биссектрис соответствующих углов 1 1 1 треугольника ABC, получи…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 20

Задание №20 · Математика · Олимпиада

В треугольнике ABC проведена медиана AM и на ней выбрана точка D. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника BDC в точках B и C, пересекаются в точке K. Докажите,…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 21

Задание №21 · Математика · Олимпиада

Внутри четырёхугольника ABCD отметили точку P такую, что \APB + \CPD = 180◦. Точки P , P , P , P изогонально сопряжены P в треугольниках BCD, a b c d CDA, DAB, ABC. Докажите, что т…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→