Задание №180933: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
Дан вписанный четыр¨ехугольник ABCD. Произвольная окружность, проходящая через точки C и D, пересекает прямые AC, BC в точках X, Y соответственно. Найдите ГМТ пересечения окружностей CAY и CBX.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
.˙(cid:224)æº(cid:224)(cid:226)æŒŁØ) (10(cid:21)11) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:4)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABCD. ˇ(cid:240)(cid:238)Ł(cid:231)(cid:226)(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252), (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:224)(cid:255) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ C Ł D, (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) AC, BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı X, Y
æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˝(cid:224)Ø(cid:228)Ł(cid:242)(cid:229) ˆ(cid:204)(cid:210) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø CAY Ł CBX.
˛(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242). ˇ(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) CE, ª(cid:228)(cid:229) AEBD (cid:22) ª(cid:224)(cid:240)(cid:236)(cid:238)(cid:237)Ł(cid:247)(cid:229)æŒŁØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). —(cid:224)ææ(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:236) Œ(cid:238)(cid:236)(cid:239)(cid:238)(cid:231)Ł(cid:246)Ł(cid:254) Ł(cid:237)(cid:226)(cid:229)(cid:240)æŁŁ æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) C Ł æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)ŁŁ (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)-
(cid:237)(cid:238) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæß (cid:243)ªº(cid:224) BCA, (cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:255)(cid:254)ø(cid:243)(cid:254) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A Ł B (cid:236)(cid:229)æ(cid:242)(cid:224)(cid:236)Ł. ˛(cid:237)(cid:224) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) (cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:255)(cid:229)(cid:242)
(cid:236)(cid:229)æ(cid:242)(cid:224)(cid:236)Ł (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:243)(cid:254) AB Ł (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), (cid:242).(cid:229). D (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)Ø(cid:228)(cid:229)(cid:242) (cid:226)
(cid:237)(cid:229)Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:243)(cid:254) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) D(cid:48) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø AB, (cid:224) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252), (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:224)(cid:255) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) C Ł D, (cid:22) (cid:226)
(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:243)(cid:254), (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:243)(cid:254) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) D(cid:48) Ł (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)ø(cid:243)(cid:254) AC, BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı Y (cid:48), X(cid:48) æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)-
æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˛Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł CAY Ł CBX (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)Ø(cid:228)(cid:243)(cid:242) (cid:226) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) AX(cid:48), BY (cid:48), (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255)
Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ßı º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø, (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:229)Ø (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) C Ł (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)ø(cid:229)Ø AB (cid:226) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229)
E(cid:48), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:247)(cid:229)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:240)Œ(cid:224) A, B, D(cid:48), E(cid:48) ª(cid:224)(cid:240)(cid:236)(cid:238)(cid:237)Ł(cid:247)(cid:229)æŒ(cid:224)(cid:255). ˇ(cid:240)Ł (cid:239)(cid:238)(cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:237)(cid:238)(cid:236) (cid:239)(cid:240)Ł(cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:229)(cid:237)ŁŁ Ł(cid:237)(cid:226)(cid:229)(cid:240)æŁŁ
Ł æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)ŁŁ (cid:253)(cid:242)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)Ø(cid:228)(cid:229)(cid:242) (cid:226) CE ((cid:240)Łæ.19).
11
D
C
Y
X
A B
P
E
—Łæ. 19.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.