Задание №180934: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
В треугольнике ABC проведена медиана AM и на ней выбрана точка D. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника BDC в точках B и C, пересекаются в точке K. Докажите, что DD′ параллельно AK, где D′ — точка, изогонально сопряж¨енная точке D относительно треугольника ABC.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
.(cid:216)(cid:229)(cid:226)(cid:246)(cid:238)(cid:226)) (10(cid:21)11) ´ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABC (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:229)(cid:237)(cid:224) (cid:236)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:224)(cid:237)(cid:224) AM Ł (cid:237)(cid:224) (cid:237)(cid:229)Ø (cid:226)ßÆ(cid:240)(cid:224)(cid:237)(cid:224)
(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) D. ˚(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß(cid:229), (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:229)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229) Œ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) BDC (cid:226)
(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı B Ł C, (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) K. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) DD(cid:48) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) AK, ª(cid:228)(cid:229)
D(cid:48) (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224), Ł(cid:231)(cid:238)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) æ(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:230)(cid:4)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) D (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC.
ˇ(cid:229)(cid:240)(cid:226)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:240)Ł (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ D (cid:239)(cid:238) AM (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) D(cid:48) (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:239)(cid:238) æŁ(cid:236)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:224)(cid:237)(cid:229),
(cid:224) K (cid:239)(cid:238) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:237)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:243) Œ BC, (cid:239)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:236) D(cid:48) (cid:231)(cid:224)(cid:226)ŁæŁ(cid:242) (cid:238)(cid:242) D (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:229)Œ(cid:242)Ł(cid:226)(cid:237)(cid:238), (cid:224) K
Œ(cid:226)(cid:224)(cid:228)(cid:240)(cid:224)(cid:242)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:238) ((cid:253)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:238)º(cid:254)æ (cid:244)ŁŒæŁ(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø BC (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł BCD,
Œ(cid:238)(cid:253)(cid:244)(cid:244)Ł(cid:246)Ł(cid:229)(cid:237)(cid:242)ß (cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)Ø Œ(cid:226)(cid:224)(cid:228)(cid:240)(cid:224)(cid:242)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:238) (cid:231)(cid:224)(cid:226)Łæ(cid:255)(cid:242) (cid:238)(cid:242) D). ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:228)(cid:238)æ(cid:242)(cid:224)(cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:237)(cid:238)
(cid:228)(cid:238)Œ(cid:224)(cid:231)(cid:224)(cid:242)(cid:252) (cid:243)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:230)(cid:228)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł (cid:228)º(cid:255) (cid:239)(cid:255)(cid:242)Ł (cid:239)(cid:238)º(cid:238)(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁØ (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ D. ¯æºŁ D æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ A,
(cid:242)(cid:238) D(cid:48) (cid:22) (cid:238)æ(cid:237)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:229) æŁ(cid:236)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:224)(cid:237)ß, (cid:224) K (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ßı Œ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC, (cid:242).(cid:229). (cid:226)æ(cid:229) (cid:242)(cid:240)Ł (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø. ¯æºŁ
D (cid:22) (cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) AM æ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252)(cid:254), (cid:242)(cid:238) K (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242)
(cid:237)(cid:224) æŁ(cid:236)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:224)(cid:237)(cid:229), (cid:224) D(cid:48) (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:229)(cid:229) Æ(cid:229)æŒ(cid:238)(cid:237)(cid:229)(cid:247)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:238)Ø. ¯æºŁ D æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ M, (cid:242)(cid:238) K
(cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ M, (cid:224) D(cid:48) æ A. ¯æºŁ ABDC (cid:22) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:238)ª(cid:240)(cid:224)(cid:236)(cid:236), (cid:242)(cid:238) D(cid:48) (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)
(cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ßı Œ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı B Ł C, (cid:224) K æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224)
D(cid:48) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) M. ˝(cid:224)Œ(cid:238)(cid:237)(cid:229)(cid:246), (cid:229)æºŁ D (cid:22) Æ(cid:229)æŒ(cid:238)(cid:237)(cid:229)(cid:247)(cid:237)(cid:238) (cid:243)(cid:228)(cid:224)º(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224), (cid:242)(cid:238) K æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242)
æ M. ´(cid:238) (cid:226)æ(cid:229)ı æº(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:255)ı (cid:243)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:230)(cid:228)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł (cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:237)(cid:238).
´(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229)
(˝.`(cid:229)º(cid:243)ı(cid:238)(cid:226), https://artofproblemsolving.com/community/c6h3025566p27515578)
˛Æ(cid:238)(cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:236) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) Γ (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) BDC, Ł (cid:239)(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) AB Ł AC (cid:239)(cid:238)(cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242) Γ (cid:226)
(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı B(cid:48) Ł C(cid:48) æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) M(cid:48) (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) B(cid:48)C(cid:48), (cid:224) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß(cid:229) Œ Γ (cid:226)
(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı B(cid:48) Ł C(cid:48) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) K(cid:48).
˙(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) A, K Ł K(cid:48) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø ((cid:239)(cid:238)º(cid:255)(cid:240)(cid:229) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) BC∩B(cid:48)C(cid:48)
(cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) Γ). ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:237)(cid:224)(cid:228)(cid:238) (cid:228)(cid:238)Œ(cid:224)(cid:231)(cid:224)(cid:242)(cid:252), (cid:247)(cid:242)(cid:238) DD(cid:48) (cid:107) KK(cid:48). ˇ(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)(cid:229)(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) DD(cid:48) Ł KK(cid:48)
(cid:224)(cid:237)(cid:242)Ł(cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß MM(cid:48) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:243)ªº(cid:224) BAC.
(cid:209)(cid:237)(cid:224)(cid:247)(cid:224)º(cid:224) (cid:228)(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)(cid:229)(cid:236) (cid:253)(cid:242)(cid:238) (cid:228)º(cid:255) DD(cid:48). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) AD (cid:239)(cid:238)(cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) Γ (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) E. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224)
ABD(cid:48) ∼ AEC, (cid:242).(cid:229). AD(cid:48) · AE = AB · AC. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), AD : AD(cid:48) = (AD · AE) :
(AD(cid:48) · AE) = (AB · AB(cid:48)) : (AB · AC) = AB(cid:48) : AC.
12
(cid:209) (cid:228)(cid:240)(cid:243)ª(cid:238)Ø æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)ß, ABCM ∼ AC(cid:48)B(cid:48)M(cid:48), (cid:224) (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), AM : AM(cid:48) = AC : AB(cid:48) = AD(cid:48) : AD.
˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238), A, D Ł M º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø Ł Ł(cid:231) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238) (cid:230)(cid:229) (cid:239)(cid:238)(cid:228)(cid:238)ÆŁ(cid:255) ∠BAM =
∠C(cid:48)AM(cid:48), (cid:242).(cid:229). A, D(cid:48) Ł M(cid:48) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø. ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) D, D(cid:48), M Ł M(cid:48)
º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:238)(cid:242)Œ(cid:243)(cid:228)(cid:224) (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236) ŁæŒ(cid:238)(cid:236)(cid:243)(cid:254) (cid:224)(cid:237)(cid:242)Ł(cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252).
ˇ(cid:229)(cid:240)(cid:229)Ø(cid:228)(cid:229)(cid:236) Œ (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø KK(cid:48). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) O Ł R (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) Ł (cid:240)(cid:224)(cid:228)Ł(cid:243)æ Γ. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) O, M Ł K º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242)
(cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø, (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) Œ(cid:224)Œ O, M(cid:48) Ł K(cid:48), (cid:239)(cid:240)Ł (cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236) OM · OK = R2 = OM(cid:48) · OK(cid:48).
(cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), K, K(cid:48), M Ł M(cid:48) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:238)(cid:242)Œ(cid:243)(cid:228)(cid:224) (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236) Ł
(cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:243)(cid:254) ŁæŒ(cid:238)(cid:236)(cid:243)(cid:254) (cid:224)(cid:237)(cid:242)Ł(cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252).
Используемые формулы
AD(cid:48) · AE = AB · AC.(cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), AD : AD(cid:48) = (AD · AE) :(AD(cid:48) · AE) = (AB · AB(cid:48)) : (AB · AC) = AB(cid:48) : AC.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.