Задание №180935: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
Дан вписанный четыр¨ехугольник ABCD. Пусть M — середина диагонали ac AC; H , H — ортоцентры треугольников ABC, ADC соответственно; P , P — проd b d b екции H и H на BM и DM соответственно. Аналогично определим P , P для d b ac ac a c диагонали BD. Докажите, что P , P , P , P лежат на одной окружности. a b c d
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Łı(cid:224)غ(cid:238)(cid:226)) (10(cid:21)11) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:4)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABCD. ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) M (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł-
ac
(cid:237)(cid:224) (cid:228)Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)ºŁ AC; H , H (cid:22) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)ß (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) ABC, ADC æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238);
d b
P , P (cid:22) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:229)Œ(cid:246)ŁŁ H Ł H (cid:237)(cid:224) BM Ł DM æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) (cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:229)(cid:228)(cid:229)ºŁ(cid:236)
d b d b ac ac
P , P (cid:228)º(cid:255) (cid:228)Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)ºŁ BD. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) P , P , P , P º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.
a c a b c d
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ¨(cid:231)(cid:226)(cid:229)æ(cid:242)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A, C, P , H º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:238)Ø
d d
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ABC (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) M . ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) MA·MC = MP ·MB(cid:48) = MP ·MB, ª(cid:228)(cid:229)
ac d d
B(cid:48) (cid:22) (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:238)ª(cid:240)(cid:224)(cid:236)(cid:236)(cid:224) ABCB(cid:48). (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) MA·MC = MD·MP , (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242),
b
B, D, P , P º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł. ˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238), (cid:239)(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A, C, P , P
b d b d
º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) BD, AC Ł P P (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)(cid:236)
b d
(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:229) L ((cid:240)Łæ.21). (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) P P (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)Ł(cid:242) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) L, (cid:239)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:236) LP ·
a c a
LP = LA · LC = LB · LD = LP · LP , (cid:238)(cid:242)Œ(cid:243)(cid:228)(cid:224) æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242) (cid:243)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:230)(cid:228)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł.
c b d
B
P
d
M L
A C
D
P
b
—Łæ. 21.
Используемые формулы
ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) MA·MC = MP ·MB(cid:48) = MP ·MB, ª(cid:228)(cid:229)(cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) MA·MC = MD·MP , (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242),
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.