Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 — Математика
21 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
Пусть L — середина меньшей дуги AC описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Из вершины B на касательную к описанной окружности, провед¨енную в точке L, опустили перпен…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке E. Окружность с центром в точке E лежит внутри прямоугольника. Из вершин C, D, A проведены касательные к окружности CF, DG, AH, п…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Окружность касается боковых сторон трапеции ABCD в точках B и C, а её центр лежит на AD. Докажите, что диаметр окружности меньше средней линии трапеции.…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E так, что \BED = 3\BDE. Точка D′ симметрична точке D относительно прямой AC. Докажите, что прямая D…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Дан вписанный четырехугольник ABCD. На сторонах AD и CD взяты точки E и F так, что AE = BC и AB = CF. Пусть M — середина EF. Докажите, что угол AMC прямой.…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Пусть A , B , C — основания высот остроугольного треугольника ABC. Окруж- 1 1 1 ность, вписанная в треугольник A B C , касается сторон A B ,A C ,B C в точках 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C ,B…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
На окружности ω зафиксирована точка A. Хорды BC окружности ω выбираются так, что проходят через фиксированную точку P. Докажите, что окружности 9 точек треугольников ABC касаются ф…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №9 · Математика · Олимпиада
Про треугольник ABC известно, что точка, симметричная ортоцентру относительно центра описанной окружности, лежит на стороне BC. Пусть A — основание 1 высоты, проведенной из точки A…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №10 · Математика · Олимпиада
Высоты BE и CF остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Перпендикуляр из H к прямой EF пересекает прямую ℓ, проходящую через точку A и параллельную BC, в точке P. Би…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №11 · Математика · Олимпиада
Пусть H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC; E, F — такие точки на сторонах AB, AC соответственно, что AEHF — параллелограмм; X, Y — точки пересечения прямой EF с описанной…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №13 · Математика · Олимпиада
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC, а угол C в полтора раза больше угла A. Диагональ AC делит угол C на два угла. Определите, какой из них больше?…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №14 · Математика · Олимпиада
Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки O. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг O неч¨етно. (Числом оборотов вокруг …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №15 · Математика · Олимпиада
Дан выпуклый четыр¨ехугольник ABCD. Точки X и Y лежат на продолжениях за точку D сторон CD и AD соответственно, причем DX = AB и DY = BC. Аналогично, точки Z и T лежат на продолжен…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №16 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC проведены высоты AH и BH . Прямая H H пересе- A B A B кает описанную окружность треугольника ABC в точках P и Q. Точка A′ симметрична точке A относительно BC, то…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №17 · Математика · Олимпиада
Общая внешняя касательная к окружностям ω и ω касается их в точках T , 1 2 1 T соответственно. Пусть A — произвольная точка на продолжении отрезка T T за 2 1 2 точку T , а B — точк…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №18 · Математика · Олимпиада
Восстановите вписанно-описанный четыр¨ехугольник ABCD по серединам дуг AB, BC, CD его описанной окружности. 3…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №19 · Математика · Олимпиада
Дан вписанный четыр¨ехугольник ABCD. Произвольная окружность, проходящая через точки C и D, пересекает прямые AC, BC в точках X, Y соответственно. Найдите ГМТ пересечения окружност…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №20 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC проведена медиана AM и на ней выбрана точка D. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника BDC в точках B и C, пересекаются в точке K. Докажите,…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №21 · Математика · Олимпиада
Дан вписанный четыр¨ехугольник ABCD. Пусть M — середина диагонали ac AC; H , H — ортоцентры треугольников ABC, ADC соответственно; P , P — проd b d b екции H и H на BM и DM соответ…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №22 · Математика · Олимпиада
В неравнобедренном треугольнике ABC точка M — середина BC, P — ближайшая к A точка пересечения луча AM и вписанной окружности треугольника, Q — дальняя от A точка пересечения луча …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №24 · Математика · Олимпиада
Дан тетраэдр ABCD. Прямая ℓ пересекает плоскости ABC, BCD, CDA, DAB в точках D , A , B , C соответственно. Пусть P — произвольная точка, не лежащая 0 0 0 0 на прямой ℓ и в плоскост…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный