Задание №180920: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
Дан вписанный четырехугольник ABCD. На сторонах AD и CD взяты точки E и F так, что AE = BC и AB = CF. Пусть M — середина EF. Докажите, что угол AMC прямой.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
ı(cid:224)(cid:240)(cid:247)(cid:243)Œ) (8) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABCD. ˝(cid:224) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:224)ı AD Ł CD
(cid:226)(cid:231)(cid:255)(cid:242)ß (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ E Ł F (cid:242)(cid:224)Œ, (cid:247)(cid:242)(cid:238) AE = BC Ł AB = CF. ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) M (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) EF.
˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:243)ª(cid:238)º AMC (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø.
ˇ(cid:229)(cid:240)(cid:226)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ´ (cid:239)(cid:255)(cid:242)Ł(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABCFE ∠A + ∠C = 180◦, (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), ∠B + ∠E +
∠F = 360◦. ˛(cid:242)º(cid:238)(cid:230)Ł(cid:236) (cid:238)(cid:242) (cid:239)(cid:240)(cid:238)Ł(cid:231)(cid:226)(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ U (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)ŒŁ UX = AB = CF, UY =
BC = AE, UZ = ME = MF (cid:242)(cid:224)Œ, (cid:247)(cid:242)(cid:238) ∠XUY = ∠B, ∠Y UZ = ∠E, ∠ZUX = ∠F.
(cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ UXY , UY Z, UZX Ł XY Z (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224)(cid:236)
BAC, EMA, FMC Ł ACM, æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), ∠AMC = ∠AME+∠CMF = 90◦ ((cid:240)Łæ.5).
C = X
B
F
U
M = Z
D A = Y
E
—Łæ. 5.
´(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:238)æ(cid:242)(cid:240)(cid:238)Ł(cid:236) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:238)ª(cid:240)(cid:224)(cid:236)(cid:236) ABCU. (cid:210)(cid:238)(cid:247)ŒŁ E, F æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)ß
U (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226) BAD, BCD æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˇ(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) ∠AUC +
3
∠ADC = 180◦, (cid:253)(cid:242)Ł ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæß (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)ß. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ UEF
(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ßØ, (cid:224) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæß (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:229) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:238)º(cid:238) (cid:237)(cid:229)ª(cid:238) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) M.
Используемые формулы
(cid:226)(cid:231)(cid:255)(cid:242)ß (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ E Ł F (cid:242)(cid:224)Œ, (cid:247)(cid:242)(cid:238) AE = BC Ł AB = CF.´ (cid:239)(cid:255)(cid:242)Ł(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABCFE ∠A + ∠C = 180◦, (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), ∠B + ∠E +∠F = 360◦.BC = AE, UZ = ME = MF (cid:242)(cid:224)Œ, (cid:247)(cid:242)(cid:238) ∠XUY = ∠B, ∠Y UZ = ∠E, ∠ZUX = ∠F.BAC, EMA, FMC Ł ACM, æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), ∠AMC = ∠AME+∠CMF = 90◦ ((cid:240)Łæ.5).C = X
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.