Задание №180936: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
В неравнобедренном треугольнике ABC точка M — середина BC, P — ближайшая к A точка пересечения луча AM и вписанной окружности треугольника, Q — дальняя от A точка пересечения луча AM и вневписанной окружности. Касательная к вписанной окружности в точке P пересекает BC в точке X, а касательная к вневписанной окружности в точке Q пересекает BC в точке Y . Докажите, что MX = MY .
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(10(cid:21)11) ´ (cid:237)(cid:229)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:229)(cid:228)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238)(cid:236) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABC (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) M (cid:22)
13
æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) BC, P (cid:22) ƺŁ(cid:230)(cid:224)Øł(cid:224)(cid:255) Œ A (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) º(cid:243)(cid:247)(cid:224) AM Ł (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), Q (cid:22) (cid:228)(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:255)(cid:255) (cid:238)(cid:242) A (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) º(cid:243)(cid:247)(cid:224) AM Ł (cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł. ˚(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) Œ (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) P (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229)
X, (cid:224) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) Œ (cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) Q (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) Y .
˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MX = MY .
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). (cid:209)(cid:228)(cid:229)º(cid:224)(cid:229)(cid:236) ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:254) æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) A, (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:226)(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:243)(cid:254) (cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) (cid:226) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) B(cid:48), C(cid:48), M(cid:48), Q(cid:48), Y (cid:48) (cid:22) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)ß (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ B, C, M, Q, Y æ(cid:238)-
(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) BB(cid:48)C(cid:48)C (cid:22) (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)Ł(cid:255), (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)Œ(cid:238)º(cid:238) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł
(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), (cid:238)Æ(cid:238)(cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:236) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł æ(cid:238) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:224)(cid:236)Ł BC, B(cid:48)C(cid:48), BB(cid:48),
CC(cid:48) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) K, L, U, V æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˇ(cid:238) (cid:242)(cid:229)(cid:238)(cid:240)(cid:229)(cid:236)(cid:229) `(cid:240)Ł(cid:224)(cid:237)ł(cid:238)(cid:237)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) J (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255)
(cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:238)(cid:226) KL Ł UV æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:238)Ø (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:228)Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)º(cid:229)Ø (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)ŁŁ Ł, æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)-
(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) AM ((cid:240)Łæ.22). ˇ(cid:240)Ł (cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236) JK : JL = BC : B(cid:48)C(cid:48). (cid:215)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ,
(cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:236)Ł PX, BC, Q(cid:48)Y (cid:48) Ł B(cid:48)C(cid:48), (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237) (cid:226)(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)ª (cid:242)(cid:238)Ø (cid:230)(cid:229) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł,
(cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242) (cid:229)ª(cid:238) (cid:228)Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)º(cid:252) XY (cid:48) (cid:242)(cid:238)(cid:230)(cid:229) (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)Ł(cid:242) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) J Ł XM : Y (cid:48)M(cid:48) = JK : JL. (cid:209)(cid:228)(cid:229)º(cid:224)(cid:226)
(cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:242)(cid:237)(cid:243)(cid:254) ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:254), (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236) ŁæŒ(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:237)æ(cid:242)(cid:226)(cid:238).
A
C(cid:48) L M(cid:48) B(cid:48)
V P
J
U
Q(cid:48)
C B
M K
—Łæ. 22.
Используемые формулы
˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MX = MY .ˇ(cid:240)Ł (cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236) JK : JL = BC : B(cid:48)C(cid:48).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.