Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2023Олимпиадный

Задание №180938: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023

Условие

Дан тетраэдр ABCD. Прямая ℓ пересекает плоскости ABC, BCD, CDA, DAB в точках D , A , B , C соответственно. Пусть P — произвольная точка, не лежащая 0 0 0 0 на прямой ℓ и в плоскостях граней тетраэдра, а A , B , C , D — вторые точки 1 1 1 1 пересечения прямых PA , PB , PC , PD со сферами PBCD, PCDA, PDAB, PABC 0 0 0 0 соответственно. Докажите, что P, A , B , C , D лежат на одной окружности. 1 1 1 1 4

📎 zaoch_2023.pdf📎 zaoch_sol_2023.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
Организатор
Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
Год материала
2023
Материалы
2 файла
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2023Олимпиада Шарыгина 2023 · тип 24анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

(11) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:253)(cid:228)(cid:240) ABCD. ˇ(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) (cid:96) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)Ł ABC,
BCD, CDA, DAB (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı D , A , B , C æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) P (cid:22) (cid:239)(cid:240)(cid:238)Ł(cid:231)(cid:226)(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255)
0 0 0 0
14

(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224), (cid:237)(cid:229) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)ø(cid:224)(cid:255) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø (cid:96) Ł (cid:226) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)(cid:255)ı ª(cid:240)(cid:224)(cid:237)(cid:229)Ø (cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:253)(cid:228)(cid:240)(cid:224), (cid:224) A , B , C , D (cid:22)
1 1 1 1
(cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ß(cid:229) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ßı PA , PB , PC , PD æ(cid:238) æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)(cid:224)(cid:236)Ł PBCD, PCDA,
0 0 0 0
PDAB, PABC æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) P, A , B , C , D º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø
1 1 1 1
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) S (cid:22) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)(cid:224) (cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:253)(cid:228)(cid:240)(cid:224) ABCD, (cid:224) ω (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252)
(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) PA B . (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) BCD (cid:22) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) S Ł (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø
1 1
æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)ß (cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:253)(cid:228)(cid:240)(cid:224) PBCD. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ A º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:226) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)Ł BCD, (cid:242)(cid:238) æ(cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:252) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A
0 0
(cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) S (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:224) (cid:229)(cid:229) æ(cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:237)Ł (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)ß PBCD, (cid:242).(cid:229). A P ·A A . (cid:221)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243)
0 0 1
(cid:239)(cid:240)(cid:238)Ł(cid:231)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:254) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:224) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) æ(cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:252) A (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:238)º(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224)
0
PA B (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω. (cid:210)(cid:224)ŒŁ(cid:236) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:236), A º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)æŁ æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)ß S Ł
1 1 0
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω. (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) B º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)æŁ S Ł ω. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:253)(cid:242)(cid:224)
0
(cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)æ(cid:252) æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø (cid:96).
(cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) C º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:226) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)Ł DAB, (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:254)ø(cid:229)Øæ(cid:255) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)(cid:252)(cid:254)
0
S Ł (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)ß (cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:253)(cid:228)(cid:240)(cid:224) PDAB, æ(cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:237)Ł C (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:253)(cid:242)Łı æ(cid:244)(cid:229)(cid:240) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß.
0
˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) PC (cid:22) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)æ(cid:252) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω Ł æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)ß PDAB, (cid:237)(cid:238) PC (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)-
0 0
æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) (cid:253)(cid:242)(cid:243) æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)(cid:243) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) C , æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), C º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω. (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238)
1 1
D º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) ω. (cid:210)(cid:224)ŒŁ(cid:236) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:236), P, A , B , C , D º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.
1 1 1 1 1























15

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: