Задание №180962: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
В пирамиде SABC все углы при вершине S прямые. Точки A′, B′, C′ на ребрах SA, SB, SC соответственно таковы, что треугольники ABC и A′B′C′ подобны. Верно ли, что плоскости ABC и A′B′C′ параллельны? 4
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Tran Quang Hung, N.Dergiados) В пирамиде SABC все углы при вершине S
прямые. Точки A′, B′, C′ на ребрах SA, SB, SC соответственно таковы, что тре-
угольники ABC и A′B′C′ подобны. Верно ли, что плоскости ABC и A′B′C′ парал-
лельны?
Ответ. Да.
Первое решение. Предположим, что плоскости ABC и A′B′C′ не параллельны.
Тогда сделаем гомотетию с центром S, переводящую треугольник A′B′C′ в треуголь-
ник, равный ABC, а затем движение, переводящее полученный треугольник в ABC.
Тогда точка S перейдет в точку S′, отличную от S и точки, симметричной S отно-
сительно плоскости ABC. С другой стороны, обе точки S, S′ лежат на трех сферах
с диаметрами AB, BC, CA. Поскольку центры этих сфер не лежат на одной пря-
мой, у них есть лишь две точки пересечения, симметричные относительно плоскости
ABC — противоречие.
Второе решение. Пусть A′B′ = tAB. Тогда B′C′ = tBC, C′A′ = tAC. Так как углы
при вершине S прямые, то SA′2 + SB′2 = t2AB2, SA′2 + SC′2 = t2AC2, SB′2 + SC′2 =
t2BC2. Из этих равенств получаем, что SA′2 = t2(AB2 + AC2 − BC2)/2 = t2SA2, т.е.
SA′ = tSA. Аналогично SB′ = tSB, SC′ = tSC и, следовательно, плоскости ABC и
A′B′C′ параллельны.
15
Используемые формулы
Пусть A′B′ = tAB.Тогда B′C′ = tBC, C′A′ = tAC.при вершине S прямые, то SA′2 + SB′2 = t2AB2, SA′2 + SC′2 = t2AC2, SB′2 + SC′2 =Из этих равенств получаем, что SA′2 = t2(AB2 + AC2 − BC2)/2 = t2SA2, т.е.SA′ = tSA.Аналогично SB′ = tSB, SC′ = tSC и, следовательно, плоскости ABC и
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.