Задание №180961: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024

(И.Кухарчук) По окружности Ω движется точка P. На окружности Ω за-
фиксированы точки A и B. Точка C — произвольная точка внутри круга с границей
Ω. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников
APC и BCP, пересекаются в точке Q. Докажите, что все точки Q лежат на двух
фиксированных прямых.

Решение. Точка пересечения внешних касательных является центром окружности
ω, инверсия относительно которой меняет окружности APC и BPC местами. Рас-
смотрим инверсию с центром C, переводящую точки A, B, P в A′, B′, C′ соответ-
ственно. Она переведет окружности APC, BPC в прямые A′P′, B′P′ соответственно,
окружность ω в биссектрису одного из углов между этими прямыми, а ее центр Q в
точку Q′, симметричную C относительно этой биссектрисы. Поскольку биссектрисы
углов между прямыми P′A′ и P′B′ проходят через две фиксированные точки — се-
редины дуг A′B′ окружности A′B′P′, точка Q′ лежит на одной из двух окружностей

с центрами в этих точках, проходящих через C. Образами этих окружностей при
рассмотренной инверсии являются две фиксированные прямые.

14

Примечание. Точка Q переходит с одной прямой на другую, когда P пересекает
одну из прямых AC, BC.