Задание №180958: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024

(Л.Шатунов) Через вершины A, B, C треугольника ABC провели прямые
a ,b ,c соответственно. Отразим a , b , c относительно биссектрис соответствую-
1 1 1 1 1 1
щих углов треугольника ABC, получив a , b , c . Пусть A = b ∩ c , B = a ∩ c ,
2 2 2 1 1 1 1 1 1
C = a ∩ b , аналогично определим A , B , C . Докажите, что у треугольников
1 1 1 2 2 2
A B C и A B C одинаковое отношение площади к радиусу описанной окружности
1 1 1 2 2 2
(т.е. S1 = S2 , где S = S(△A B C ), R = R(△A B C )).
R1 R2 i i i i i i i i
Решение.
Лемма. Пусть точки X′, Y ′, Z′ лежат на сторонах Y Z, ZX, XY соответственно
треугольника XY Z. Тогда
XY ′ · Y Z′ · ZX′ + X′Y · Y ′Z · Z′X
S = .
X′Y′Z′
4R
XYZ
(точки X′, Y ′, Z′ могут лежать и на продолжениях сторон. В этом случае отрезки в
формуле надо считать направленными)
Доказательство. Пусть XY ′ = αXZ, Y Z′ = βY X, ZX′ = γZY . Тогда S :
X′Y′Z′
S = 1−α(1−β)−β(1−γ)−γ(1−α) = αβγ +(1−α)(1−β)(1−γ) и утверждение
XYZ
леммы следует из формулы S = (XY · Y Z · ZX)/4R .
XYZ XYZ
Применим теперь лемму к треугольнику A B C и точкам A, B, C на его сторонах.
1 1 1
Обозначив \B AC = α, \C BA = β, \A CB = γ получим (использовав теорему
1 1 1
синусов для треугольников AB C , BC A , CA B )
1 1 1 1 1 1
AB · BC · CA(sinα sin β sin γ + sin(A + α)sin(B + β)sin(C + γ))
S = .
ABC 4R sin \A B C sin \B C A sin \C A B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Применив теорему синусов к треугольнику A B C , получим, что знаменатель этой
1 1 1
дроби равен 2S /R . Осталось заметить, что при замене треугольника A B C на
1 1 1 1 1
треугольник A B C числитель дроби не изменится.
2 2 2