Задание №180959: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
Хорда PQ окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает стороны BC, AC в точках A′, B′ соответственно. Касательные к окружности в точках A и B пересекаются в точке X, а касательные в точках P и Q — в точке Y . Прямая XY пересекает AB в точке C′. Докажите, что прямые AA′, BB′ и CC′ пересекаются в одной точке.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(А.Заславский) Хорда PQ окружности, описанной около треугольника ABC,
пересекает стороны BC, AC в точках A′, B′ соответственно. Касательные к окруж-
ности в точках A и B пересекаются в точке X, а касательные в точках P и Q — в
точке Y . Прямая XY пересекает AB в точке C′. Докажите, что прямые AA′, BB′ и
CC′ пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть прямые PQ и AB пересекаются в точке U, а прямые AA′ и BB′ —
в точке V . Тогда прямая XY является полярой точки U относительно описанной
окружности и,значит, точки A, B, U, C′ образуют гармоническую четверку. Следо-
вательно, прямая CV проходит через C′.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.