Задание №180960: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
Дан отрезок AB. Пусть C — произвольная точка на серединном перпендикуляре к AB; O — точка на описанной окружности треугольника ABC, противоположная C; эллипс с центром O касается прямых AB, BC, CA. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой BC.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(D.Reznik, А.Акопян) Дан отрезок AB. Пусть C — произвольная точка на
серединном перпендикуляре к AB; O — точка на описанной окружности треуголь-
ника ABC, противоположная C; эллипс с центром O касается прямых AB, BC, CA.
Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой BC.
13
Ответ. Окружность с диаметром BQ, где Q — точка на луче AB такая, что AQ =
3AB/2, без точек B и Q.
Решение. Пусть M — середина AB, N — точка, симметричная M относительно O,
P — точка пересечения PN и BC, U, V — точки пересечения прямой, проходящей
через N и параллельной AB, с прямыми BC, AC соответственно (рис. 22). Так как
треугольники BPQ и UPN подобны, BP : PN = BQ : UN = AB : UV , т.е. прямая,
проходящая через P и параллельная AB, проходит через точку пересечения диаго-
налей трапеции ABUV . Следовательно, вписанный в трапецию эллипс касается BC
в точке P. Поскольку PN ∥ OB ⊥ BC, эта точка лежит на окружности с диаметром
BQ. Очевидно, что любая точка окружности, кроме B и Q, принадлежит искомому
ГМТ.
C
M B
A Q
P
O
V U
N
Рис. 22
Используемые формулы
Окружность с диаметром BQ, где Q — точка на луче AB такая, что AQ =треугольники BPQ и UPN подобны, BP : PN = BQ : UN = AB : UV , т.е.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.