Задание №180954: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA , BB и CC . Отрезки BB 1 1 1 1 и A C пересекаются в точке D. Точка E –— проекция точки D на сторону AC. Точки 1 1 P и Q лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что EP = PD, EQ = QD. Докажите, что \PDB = \EDQ. 1
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA , BB и CC .
1 1 1
Отрезки BB и A C пересекаются в точке D. Точка E –— проекция точки D на
1 1 1
сторону AC. Точки P и Q лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что
EP = PD, EQ = QD. Докажите, что \PDB = \EDQ.
1
Решение. Для любой точки отрезка A C сумма расстояний от нее до прямых AB
1 1
и BC равна расстоянию до AC (поскольку это верно для концов отрезка). Так как
точка D равноудалена от AB и BC, каждое из этих расстояний равно половине
DE, т.е. D — центр вписанной окружности треугольника BPQ (рис. 16). Поэтому
\EPQ = \DPB и \EQP = \DQB. Таким образом, точки B и E изогонально
сопряжены относительно треугольника DPQ, откуда следует искомое равенство.
B
C
1
D
A
1
P Q
A C
E
Рис. 16
10
Используемые формулы
EP = PD, EQ = QD.Докажите, что \PDB = \EDQ.\EPQ = \DPB и \EQP = \DQB.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.