Задание №180953: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
Разность двух углов треугольника больше 90◦. Докажите, что отношение радиусов его описанной и вписанной окружностей больше 4.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Разность двух углов треугольника больше 90◦. Докажите, что от-
ношение радиусов его описанной и вписанной окружностей больше 4.
Первое решение. Пусть в треугольнике ABC угол A — наименьший, B — наиболь-
ший, O — центр описанной окружности, L — середина дуги AB, CD и PQ — хорда
и диаметр окружности, параллельные AB (рис. 15). Так как ⌣ CD =⌣ ADC− ⌣
AD =⌣ ADC− ⌣ BC > π, точки A, B, C лежат по одну сторону от PQ, т.е.
\OLC > π/4 и расстояние от O √до прямой LC, проходящей через центр I вписан-
ной окружности больше, чем R/ 2. Следовательно, OI2 = R2 − 4Rr > R2/2, что
равносильно искомому неравенству.
9
P Q
D C
A B
L
Рис. 15
Второе решение. Воспользовавшись формулой r = 4R sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),
получаем
( ) ( ) ( )
r C B − A A + B C 1 C 1 2 1
= 2sin cos − cos < 2sin √ − sin ≤ 2 √ = .
R 2 2 2 2 2 2 2 2 4
Примечание. Полученная оценка точна. При cosC = 3/4, A = π/4 − C/2, B =
3π/4 − C/2 все неравенства обращаются в равенства и R = 4r.
Используемые формулы
Так как ⌣ CD =⌣ ADC− ⌣AD =⌣ ADC− ⌣ BC > π, точки A, B, C лежат по одну сторону от PQ, т.е.\OLC > π/4 и расстояние от O √до прямой LC, проходящей через центр I вписан-Следовательно, OI2 = R2 − 4Rr > R2/2, чтоВоспользовавшись формулой r = 4R sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),= 2sin cos − cos < 2sin √ − sin ≤ 2 √ = .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.