Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 — Математика
24 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
Биссектрисы AI и CI пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A , C соответственно. Описанная окружность треугольника AIC пересекает 1 1 1 сторону AB в точке C ; ан…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Даны три попарно различные точки на прямой. Сколько существует равнобедренных треугольников, в которых они являются (в каком-нибудь порядке) центрами описанной, вписанной и вневпис…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
В остроугольном треугольнике ABC точка M — середина меньшей дуги BC описанной окружности. Окружность ! касается сторон AB, AC в точках P, Q соответственно и проходит через точку M.…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC вписанная окружность ! касается сторон BC, CA, AB в точках A , B и C соответственно, P — произвольная точка этой окружности. Пря- 1 1 1 мая AP вторично пересекае…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Точки A′, B′, C′ соответственно симметричны вершинам A, B, C относительно противоположных сторон треугольника ABC. Докажите, что окружности AB′C′, A′BC′ и A′B′C пересекаются в одно…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Даны окружность ! и точки A и B на ней. Пусть C — произвольная точка на одной из дуг AB этой окружности, CL — биссектриса треугольника ABC, окружность BCL пересекает AC в E, а CL п…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
В четырехугольнике ABCD \B = \D и AD = CD. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AC, BD, A…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №9 · Математика · Олимпиада
В трапецию ABCD (AD ∥ BC) вписана окружность !, которая касается сторон AB, BC, CD и AD в точках P, Q, R, S соответственно. Прямая, проходящая через точку P параллельно основаниям …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №10 · Математика · Олимпиада
Треугольник ABC вписан в окружность !. Точка T на прямой BC выбрана так, что прямая AT касается !. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L, а окружность ! в точке A . …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №11 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC точки M, N — середины сторон AB, AC соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе AL пересекает биссектрисы углов B и C в точках P, Q соответственно. До…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №12 · Математика · Олимпиада
Биссектрисы AA , CC треугольника ABC, в котором \B = 60◦, пересекаются 1 1 в точке I. Описанные окружности треугольников ABC, A IC пересекаются в точке 1 1 P. Докажите, что прямая …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №13. Верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на равнобокие трапеции?
Верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на равнобокие трапеции?…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №14 · Математика · Олимпиада
Вписанная окружность ! прямоугольного треугольника ABC касается окружности, проходящей через середины его сторон, в точке F. Из середины O гипотенузы AB проведена касательная OE к …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №15 · Математика · Олимпиада
Разность двух углов треугольника больше 90◦. Докажите, что отношение радиусов его описанной и вписанной окружностей больше 4.…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №16 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA , BB и CC . Отрезки BB 1 1 1 1 и A C пересекаются в точке D. Точка E –— проекция точки D на сторону AC. Точки 1 1 P и Q лежат на сторона…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №17 · Математика · Олимпиада
Окружность !, вписанная в неравнобедренный треугольник ABC, касается его сторон BC;CA и AB в точках D;E и F соответственно. Точка M на луче EF такова, что EM = AB. Точка N на луче …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №18 · Математика · Олимпиада
Пусть AA , BB , CC — высоты остроугольного треугольника ABC; I — 1 1 1 a центр вневписанной окружности, соответствующей вершине A; I′ — точка, симметa ричная I относительно прямой …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №19 · Математика · Олимпиада
На плоскости начерчены треугольник ABC, описанная около него окружность и центр I его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №20 · Математика · Олимпиада
Через вершины A, B, C треугольника ABC провели прямые a ;b ;c со- 1 1 1 ответственно. Отразим a , b , c относительно биссектрис соответствующих углов 1 1 1 треугольника ABC, получи…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №21 · Математика · Олимпиада
Хорда PQ окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает стороны BC, AC в точках A′, B′ соответственно. Касательные к окружности в точках A и B пересекаются в точке X, а к…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №22 · Математика · Олимпиада
Дан отрезок AB. Пусть C — произвольная точка на серединном перпендикуляре к AB; O — точка на описанной окружности треугольника ABC, противоположная C; эллипс с центром O касается п…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №23 · Математика · Олимпиада
По окружности Ω движется точка P. На окружности Ω зафиксированы точки A и B. Точка C — произвольная точка внутри круга с границей Ω. Общие внешние касательные к окружностям, описан…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №24 · Математика · Олимпиада
В пирамиде SABC все углы при вершине S прямые. Точки A′, B′, C′ на ребрах SA, SB, SC соответственно таковы, что треугольники ABC и A′B′C′ подобны. Верно ли, что плоскости ABC и A′B…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный