Задание №180948: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
Треугольник ABC вписан в окружность !. Точка T на прямой BC выбрана так, что прямая AT касается !. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L, а окружность ! в точке A . Прямая TA пересекает ! в точке P. Точка K 0 0 на отрезке BC такова, что BL = CK. Докажите, что \BAP = \CAK.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Треугольник ABC вписан в окружность ω. Точка T на прямой BC
выбрана так, что прямая AT касается ω. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок
BC в точке L, а окружность ω в точке A . Прямая TA пересекает ω в точке P.
0 0
Точка K на отрезке BC такова, что BL = CK. Докажите, что \BAP = \CAK.
Решение. Проекция окружности ω на себя из точки T меняет местами B с C и P с
A , а точку A оставляет на месте. Отсюда получаем равенство двойных отношений
0
(BCAA ) = (CBAP), т.е. sin \BAP : sin \CAP = PB : PC = AB2 : AC2. С дру-
0
гой стороны, применяя теорему синусов к треугольникам AKC и BKC, получаем
sin\CAK : sin\BAK = (CK/AC) : (BK/AB) = (AB/AC) · (BL/AL) = AB2 : AC2,
что влечет искомое равенство.
Используемые формулы
Точка K на отрезке BC такова, что BL = CK.Докажите, что \BAP = \CAK.(BCAA ) = (CBAP), т.е.sin \BAP : sin \CAP = PB : PC = AB2 : AC2.sin\CAK : sin\BAK = (CK/AC) : (BK/AB) = (AB/AC) · (BL/AL) = AB2 : AC2,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.