Задание №180947: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024

В трапецию ABCD (AD ∥ BC) вписана окружность ω, которая
касается сторон AB, BC, CD и AD в точках P, Q, R, S соответственно. Прямая,
проходящая через точку P параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую
QR в точке X. Докажите, что прямые AB, QS и DX пересекаются в одной точке.


4

Первое решение. Пусть I — центр данной вписанной окружности. Тогда стороны
треугольников PQX и AID попарно параллельны (рис. 9). Значит такие треуголь-

ники гомотетичны, откуда следует требуемое в задаче.

B Q C


R


P X

I




A D
S
Рис. 9


Второе решение. Зафиксируем точки A, B, P, Q, S и будем двигать точку R по
окружности ω. Тогда точки D и X будут двигаться по прямой AS и параллельной ей
прямой, проходящей через точку P. Очевидно, что соответствие между D и S проек-
тивно, а поскольку на бесконечность они уходят одновременно, то это соответствие
линейно, т.е. все прямые DX проходят через одну точку. Ясно также, что эта точка
лежит на прямой AB, поэтому достаточно найти одно положение, при котором DX,
AB и QS пересекаются в одной точке. Этому условию удовлетворяет положение, при
котором трапеция ABCD — равнобокая.