Задание №180946: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
В четырехугольнике ABCD \B = \D и AD = CD. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AC, BD, AE и CF лежат на одной окружности.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
В четырехугольнике ABCD \B = \D и AD = CD. Окружность,
вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AB в точках E и F соот-
ветственно. Докажите, что середины отрезков AC, BD, AE и CF лежат на одной
окружности.
Решение. Пусть K, L, M, N — середины BD, AC, AE, CF соответственно. Так как
−−→ −−→ −−→
LM ∥ BC и LN ∥ AB, то \MLN = \CBA. С другой стороны, KM = (DA+BE)/2,
−−→ −−→ −−→
KN = (DC + BF)/2, а, поскольку DA = DC, BE = BF и угол между векторами
−−→ −−→ −−→ −−→
DA и DC равен углу между BE и BF, то и угол MKN равен этим углам.
Используемые формулы
В четырехугольнике ABCD \B = \D и AD = CD.LM ∥ BC и LN ∥ AB, то \MLN = \CBA.С другой стороны, KM = (DA+BE)/2,KN = (DC + BF)/2, а, поскольку DA = DC, BE = BF и угол между векторами
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.