Задание 8 Олимпиада по математике
66 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №8 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC \B = 30◦, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной, окружности AIB, CIB пересекают BC, AB соответственно в точках D, E. Докажите, что D — ортоцентр тр…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Во вписанном четырехугольнике ABCD с точкой пересечения диагоналей P на отрезках AC, BD отмечены точки K и L соответственно. При этом CK = AP и DL = BP. Докажите, что прямая, прохо…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
В четырехугольнике ABCD \B = \D и AD = CD. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AC, BD, A…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Внутриквадратнойтаблицы𝑛×𝑛закрашеныклеткинекоторогоквадрата𝑘×𝑘(1 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛). Разрешается перекрашивать клетки выбранной строки или выбранного столбца. Какое наибольшееколичествозакра…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Докажите, что для каждого натурального 𝑘 > 1 найдется бесконечно много натуральных 𝑛 таких, что HOK(𝑛,(𝑛 + 1),…,(𝑛 + 𝑘)) > HOK((𝑛 + 1),(𝑛 + 2),…,(𝑛 + 𝑘 + 1)). 1…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Некоторое множество на плоскости покрыто несколькими открытыми кругами. При каком минимальном k можно гарантированно выбрать несколько не пересекающихся кругов и раздуть в k раз та…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
На треугольной сетке выбран правильный треугольник со стороной n. Его разбили на n2 треугольников равной площади с вершинами в узлах сетки. Какое наименьшее число треугольников раз…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Вера рисует картину внутри квадрата 1 × 1. Она хочет закрасить несколько непересекающихся квадратов суммарной площади S со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата. При…
Командная олимпиада 2025 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
8. (10–11) Правильный тетраэдр обладает таким свойством: для любых двух вершин найдётся третья вершина, образующая с этими двумя пра вильный треугольник. Существуют ли другие много…
Турнир Ломоносова 2014 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
8. (11) Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетра эдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площад…
Турнир Ломоносова 2012 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
8. (9–11) На клетчатой бумаге проведена диагональ прямоугольника 1 4. Покажите, как, пользуясь только линейкой без делений, разде- × лить этот отрезок на три равные части.…
Турнир Ломоносова 2010 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
8. (10–11) Вася отвечает теорему Виета: «Сумма трёх коэффициентов квадратного трёхчлена равна одному из его корней, а произведение — другому». Экзаменатор: «Неверно». Вася: «Как же…
Турнир Ломоносова 2009 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. Основанием прямой призмы PQRP Q R служит треугольник PQR, в котором 1 1 1 ∠PQR = 90◦,QR = 5см,PR = 13см. Высота призмы равна 26см. Точка S лежит на отрезке PR , причем PS…
ОММО 2026 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. Основанием прямой призмы KLMK L M служит треугольник KLM, в котором 1 1 1 ∠LKM = 90◦,KM = 12см,LK = 5см. Высота призмы равна 24см. Точка N лежит на отрезке K M, причем K …
ОММО 2026 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. Основанием прямой призмы DEFD E F служит треугольник DEF, в котором 1 1 1 ∠DEF = 90◦,DE = 12см,DF = 20см. Высота призмы равна 80см. Точка P лежит на отрезке DF , причем D…
ОММО 2026 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. Основанием прямой призмы ABCA B C служит треугольник ABC, в котором 1 1 1 ∠ACB = 90◦,AC = 3см,CB = 4см. Высота призмы равна 12см. Точка K лежит на отрезке AC , причем AK …
ОММО 2026 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. Гора имеет форму прямого кругового конуса с вершиной в точке C. Точка O — центр основания, точка A лежит на окружности основания конуса, а точка B — на отрезке CA, причем…
ОММО 2025 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. Гора имеет форму прямого кругового конуса с вершиной в точке C. Точка O — центр основания, точка A лежит на окружности основания конуса, а точка B — на отрезке CA, причем…
ОММО 2025 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. Гора имеет форму прямого кругового конуса с вершиной в точке C. Точка O — центр основания, точка A лежит на окружности основания конуса, а точка B — на отрезке CA, причем…
ОММО 2025 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. Гора имеет форму прямого кругового конуса с вершиной в точке C. Точка O — центр основания, точка A лежит на окружности основания конуса, а точка B — на отрезке CA, причем…
ОММО 2025 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение log (2x2 − x − 2a − 4a2) + 3log (x2 − ax − 2a2) = 0 2 1/8 имеет два различных корня, сумма квадратов которых принадлежит интерва…
ОММО 2019 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение log (2x2 − x + 2a − 4a2) + log (x2 + ax − 2a2) = 0 3 1/3 имеет два различных корня, сумма квадратов которых меньше 1?…
ОММО 2019 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение 2log (2x2 − x − 2a − 4a2) − log (x2 − ax − 2a2) = 0 16 4 имеет два различных корня, сумма квадратов которых принадлежит интервал…
ОММО 2019 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение log (2x2 + (2a + 1)x − 2a) − 2log (x2 + 3ax + 2a2) = 0 2 4 имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше 4?…
ОММО 2019 · Олимпиадный