Задание №178307: Турнир Ломоносова 2012

Задача 8.
Первое решение. Прочитав второе решение задачи 7, можно дога
даться и как решать задачу 8.
Впишем в тетраэдр сферу и рассмотрим все треугольники, обра
зованные какой-то парой вершин тетраэдра и точкой касания сферы
с гранью, содержащей эти вершины. К каждому ребру тетраэдра при
мыкает по два таких треугольника. Они равны по трём сторонам —
а значит, равновелики.
Напишем на каждом ребре площадь примыкающего к нему треуголь
ника. Сумма чисел на сторонах грани — это сумма площадей трёх тре
угольников, на которые эта грань разбивается, т. е. как раз площадь
грани.














Жирными линиями на рисунке показаны рёбра тетраэдра, жирными
точками — точки касания граней тетраэдра и вписанной в тетраэдр
сферы. Проекция этой сферы на плоскость рисунка закрашена серым
цветом. Тонкими линиями показано упомянутое в решении разбиение
граней тетраэдра на треугольники (для «невидимой» грани это разбие
ние показано пунктиром).

17

Второе решение. Пусть площадь наименьшей грани равна s. Напи
шем на ребре, общем для наименьшей и наибольшей граней, число s,
а на остальных двух рёбрах наименьшей грани — по нулю. Тогда на
оставшихся трёх рёбрах всегда можно расставить неотрицательные
числа требуемым образом.
Действительно, пусть площадь набольшей грани равна S, а пло
щади двух оставшихся граней — a и b. На одном ребре наибольшей
грани уже написано число s. Напишем на двух других 1(S b + a s)
2 − −
и 1(S a+b s) (каждое из них неотрицательно как сумма двух неот
2 − −
рицательных чисел). Наконец, на единственном пока ещё пустом ребре
напишем число 1(a+b+s S) (это число неотрицательно, так как про
2 −
екции трёх граней покрывают четвёртую, а площадь грани не меньше
площади её проекции на другую грань).
Нетрудно проверить, что условие задачи выполнено:
s = s + 0 + 0;
1 1
S = s + (S b + a s) + (S a + b s);
2 − − 2 − −
1 1
a = 0 + (S b + a s) + (a + b + s S);
2 − − 2 −
1 1
b = 0 + (S a + b s) + (a + b + s S).
2 − − 2 −
Задания для конкурса по математике предложили и подготовили:
Т. И. Голенищева–Кутузова,
Т. В. Караваева,
Г. А. Мерзон (№ 5),
И. В. Раскина (№ 1),
А. Л. Семёнов (№ 4),
Б. Р. Френкин,
А. В. Шаповалов (№ 3, 6, 8),
И. В. Ященко (№ 2, 4).


18

Критерии проверки и награждения

По результатам проверки каждого задания ставилась одна из следую
щих оценок (перечислены в порядке убывания):
«+» — задача решена полностью;
« » — задача решена с недочётами, не влияющими на общий ход реше
±
ния;
« » — задача не решена, но имеются содержательные продвижения;
∓
« » — задача не решена;
−
за задачу, к решению которой участник не приступал, ставился «0».
Так как по одному ответу невозможно определить, в какой сте
пени участник решил задачу, за верный ответ без решения ставится
оценка « ». (Естественно, это не относится к задаче № 2, в которой по
−
условию требовалось лишь привести пример.)
Комментарии по задачам