Задание №178405: Турнир Ломоносова 2014

Задача 8. Ответ. Да, существует.
Решение. Зафиксируем две точки, 𝐴 и 𝐵. Множеством точек 𝑋
таких, что треугольник 𝐴𝐵𝑋 равносторонний, является окружность.
Возьмём на этой окружности точки 𝐶, 𝐷, 𝐸 такие, чтобы треугольник
𝐶𝐷𝐸 был равносторонним. Многогранник с вершинами 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷,
𝐸 обладает требуемым свойством. Действительно, каждая пара его вер
шин входит в один из равносторонних треугольников 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐵𝐷, 𝐴𝐵𝐸
и 𝐶𝐷𝐸.
𝐴 𝐴

𝐶 𝐷
𝐶 𝐷
𝐸 𝐸


𝐵 𝐵
(Получающийся многогранник по-другому можно описать как две
правильные треугольные пирамиды с высотой, равной половине боко
вой стороны, склеенные по основанию.)
Комментарий. Можно построить и другой (невыпуклый) много
гранник с тем же набором вершин. Существуют ли еще многогранники
с таким свойством, жюри не известно.
Задания для конкурса по математике предложили и подготовили:
А.В.Антропов, Е.В.Бакаев, Т.И.Голенищева-Кутузова,
С.А.Дориченко, Т.В.Казицына, Г.А.Мерзон, М.А.Раскин,
Б.Р.Френкин, И.В.Ященко.

17

Критерии проверки и награждения

По результатам проверки каждого задания ставилась одна из следую
щих оценок (перечислены в порядке убывания):
«+» — задача решена полностью;
«±» — задача решена с недочётами, не влияющими на общий ход реше
ния;
«∓» — задача не решена, но имеются содержательные продвижения;
«−» — задача не решена;
за задачу, к решению которой участник не приступал, ставился «0».
Так как по одному ответу невозможно определить, в какой сте
пени участник решил задачу, за верный ответ без решения ставится
оценка «−».

Комментарии по задачам