Задание №178402: Турнир Ломоносова 2014
5. (8–9) На сторонах квадрата отложили 4 равных отрезка (как на рисунке). Докажите, что два отмеченных угла равны.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2014» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 5. Решение. Отложим на стороне 𝐴𝐵 отрезок 𝐵𝑁, равный 𝐴𝑃.
Заметим, что 𝐾𝐿𝑀𝑁 — квадрат, а угол 𝐶𝑀𝐿 равен углу 𝐴𝐾𝑁. (Это
следует из того, что прямоугольные треугольники 𝐴𝐾𝑁, 𝐶𝑀𝐿, 𝐵𝑁𝑀
и 𝐷𝐿𝐾 равны по двум катетам. Или можно сказать по-другому: из того,
что картинка переходит в себя при повороте большого квадрата на 90∘.)
Теперь осталось только доказать, что углы 𝐴𝐾𝑁 и 𝑀𝐾𝑃 равны.
Но, действительно, ∠𝐴𝐾𝑁 = ∠𝑁𝐾𝑃 + ∠𝐴𝐾𝑃 = ∠𝑁𝐾𝑃 + 45∘, а также
∠𝑀𝐾𝑃 = ∠𝑁𝐾𝑃 + ∠𝑀𝐾𝑁 = ∠𝑁𝐾𝑃 + 45∘ (угол 𝑀𝐾𝑁 равен 45∘, так
как треугольник 𝑀𝐾𝑁 равнобедренный прямоугольный).
D L C D L C
𝛼 90∘−𝛼
90∘
𝛼
M 𝛼 M
−
0∘
9
45∘
K K
45∘
A P N B A P B
15
Другое решение. Пусть ∠𝐶𝑀𝐿 = 𝛼. Прямоугольные треугольники
𝐷𝐿𝐾 и 𝐶𝑀𝐿 равны по двум катетам. Поэтому ∠𝐷𝐾𝐿 = 90∘ − 𝛼,
а ∠𝐾𝐿𝑀 = 180∘ − 𝛼 − (90∘ − 𝛼) = 90∘.
Из последнего видно, что треугольник 𝐾𝐿𝑀 — равнобедренный
прямоугольный. Значит, ∠𝐿𝐾𝑀 = 45∘. Угол 𝐴𝐾𝑃 тоже равен 45∘
как угол равнобедренного прямоугольного треугольника. Поэтому
∠𝑃𝐾𝑀 = 180∘ − 45∘ − 45∘ − (90∘ − 𝛼) = 𝛼.
Используемые формулы
Но, действительно, ∠𝐴𝐾𝑁 = ∠𝑁𝐾𝑃 + ∠𝐴𝐾𝑃 = ∠𝑁𝐾𝑃 + 45∘, а также∠𝑀𝐾𝑃 = ∠𝑁𝐾𝑃 + ∠𝑀𝐾𝑁 = ∠𝑁𝐾𝑃 + 45∘ (угол 𝑀𝐾𝑁 равен 45∘, такПусть ∠𝐶𝑀𝐿 = 𝛼.Поэтому ∠𝐷𝐾𝐿 = 90∘ − 𝛼,а ∠𝐾𝐿𝑀 = 180∘ − 𝛼 − (90∘ − 𝛼) = 90∘.Значит, ∠𝐿𝐾𝑀 = 45∘.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.