Задание 5 Олимпиада по математике
181 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №5 · Математика · Олимпиада
Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку AI пересекает сторону BC в точке D; прямая AD повторно пересекает описанную окружность тре…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Точка M — середина катета AC прямоугольного треугольника ABC (\C = 90◦). Перпендикуляр, опущенный из точки M на биссектрису угла ABC, пересекает гипотенузу AB в точке N. Докажите, …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Точки A′, B′, C′ соответственно симметричны вершинам A, B, C относительно противоположных сторон треугольника ABC. Докажите, что окружности AB′C′, A′BC′ и A′B′C пересекаются в одно…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Дан вписанный четырехугольник ABCD. На сторонах AD и CD взяты точки E и F так, что AE = BC и AB = CF. Пусть M — середина EF. Докажите, что угол AMC прямой.…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
На окружности радиуса 13 отметили 13 точек. Верно ли, что всегда можно выбрать три изнихтак,чтоплощадьсоответствующеготреугольникабудетменьше13?…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Дан набор целых чисел 𝑎 ,𝑎 ,…,𝑎 , по модулю не превосходящих 1000. Из- 1 2 2000 вестно, что сумма всех чисел набора равна 1. Докажите, что в наборе 𝑎 ,𝑎 ,… 𝑎 най- 1 2 2000 дется по…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Дан многочлен P(x) = a xd +...+a x2 +a с натуральными коэфd 2 0 фициентами и степенью d ⩾ 2. Определим последовательность b = a ,b = 1 0 n+1 P(b ) при n ⩾ 1. Докажите, что при любо…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Найдите все натуральные k удовлетворяющие условию: при любой раскраске натурального ряда в k цветов найдутся одноцветные числа a , a , 1 2 ..., a , для которых разности a − a , a −…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Дано простое число p. Петя и Вася по очереди (начинает Петя) вписывают цифры в свободные клетки полоски 1 × p. Петя побеждает, если полученное число (возможно, с ведущими нулями) д…
Командная олимпиада 2025 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. ОКЛЕЙКА КУБА. Куб с ребром длины 6 оклеен в один слой прямоугольными полосками размером 1 × 8 и трёхклеточными уголками (фигурки обоих видов присутствуют). Какое наименьшее коли…
Устная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
[ 10 баллов ] В вершинах куба ABCDEFGH расставлены натуральные числа так, что числа в соседних (по ребру) вершинах отличаются не более чем на единицу. Докажите, что обязательно най…
Математический праздник 2000 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
[ 10 баллов ] В одной из вершин куба ABCDEFGH сидит заяц, но охотникам он не виден. Три охотника стреляют залпом, при этом они могут "поразить" любые три вершины куба. Если они не …
Математический праздник 2000 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
[8 баллов]. Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль - 5, а Тофсла - 4. …
Математический праздник 2001 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 8*8, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущ…
Математический праздник 2002 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
[6 баллов]. Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие м…
Математический праздник 2002 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
[8 баллов] В честь праздника 1% солдат в полку получили новое обмундирование. Солдаты расставлены в виде прямоугольника так, что солдаты в новом обмундировании оказались не менее ч…
Математический праздник 2003 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
[6 баллов] Вадик написал название своего родного города и все его циклические сдвиги, получив таблицу 1. Затем, упорядочив эти "слова" по алфавиту, он составил таблицу 2 и выписал …
Математический праздник 2004 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Решите ребус 250*ЛЕТ+МГУ=2005*ГОД. (Разными буквами обозначены разные цифры, а одинаковыми - одинаковые; при этом некоторыми буквами могут быть обозначены уже имеющиеся цифры 2, 5 …
Математический праздник 2005 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
[6 баллов] В числах МИХАЙЛО и ЛОМОНОСОВ каждая буква обозначает цифру (разным буквам соответствуют разные цифры). Известно, что у этих чисел произведения цифр равны. Могут ли оба ч…
Математический праздник 2005 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Дед звал внука к себе в деревню: "Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У меня там растут груши и яблони, причём яблони посажены так, что на расстоянии 10 метров от к…
Математический праздник 2006 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Дед звал внука к себе в деревню: "Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У меня там растёт четыре груши, а ещё есть яблони, причём они посажены так, что на расстоянии …
Математический праздник 2006 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Нарисуйте, как из данных трёх фигурок, использовав каждую ровно один раз, сложить фигуру, имеющую ось симметрии. [ 7 баллов ]…
Математический праздник 2007 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Нарисуйте, как из данных трёх фигурок, использовав каждую ровно один раз, сложить фигуру, имеющую ось симметрии. [ 7 баллов ]…
Математический праздник 2007 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
( 10 баллов ) Мартышка и бананы. Мартышка собрала 100 бананов общим весом 10 кг. Помогите Мартышке накормить этими бананами Слоненка и Удава так, чтобы никто из них не обиделся: он…
Зимний турнир Архимеда 20.01.2002 · Олимпиадный