Задание №180943: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
Точки A′, B′, C′ соответственно симметричны вершинам A, B, C относительно противоположных сторон треугольника ABC. Докажите, что окружности AB′C′, A′BC′ и A′B′C пересекаются в одной точке.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Точки A′, B′, C′ соответственно симметричны вершинам A, B, C отно-
сительно противоположных сторон треугольника ABC. Докажите, что окружности
AB′C′, A′BC′ и A′B′C пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть X — вторая точка пересечения окружностей AB′C′ и A′BC′. Тогда
\(XB′,XC′) = \(AB′,AC′) = 3\(AC,AB). Аналогично \(XC′,XA′) = 3\(BA,BC).
Следовательно, \(XB′,XA′) = 3\(AC,BC) = \(CB′,CA′).
Используемые формулы
\(XB′,XC′) = \(AB′,AC′) = 3\(AC,AB).Аналогично \(XC′,XA′) = 3\(BA,BC).Следовательно, \(XB′,XA′) = 3\(AC,BC) = \(CB′,CA′).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.