Задание №180942: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
В треугольнике ABC вписанная окружность ! касается сторон BC, CA, AB в точках A , B и C соответственно, P — произвольная точка этой окружности. Пря- 1 1 1 мая AP вторично пересекает описанную окружность треугольника AB C в точке 1 1 A . Аналогично строятся точки B и C . Докажите, что описанная около треуголь- 2 2 2 ника A B C окружность касается !. 2 2 2
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
В треугольнике ABC вписанная окружность ω касается сторон
BC, CA, AB в точках A , B и C соответственно, P — произвольная точка этой
1 1 1
окружности. Прямая AP вторично пересекает описанную окружность треугольника
AB C в точке A . Аналогично строятся точки B и C . Докажите, что описанная
1 1 2 2 2
около треугольника A B C окружность касается ω.
2 2 2
Решение. Точки A, B , C лежат на окружности с диаметром AI, где I — центр
1 1
вписанной окружности. Поэтому \IA A = \IA P = 90◦ и точка A лежит на окруж-
2 2 2
ности с диаметром IP, которая касается ω в точке P (рис. 4). Точки B , C также
2 2
лежат на этой окружности.
2
A
P
B
1
C
A 1
2
I
C B
Рис. 4.
Используемые формулы
Поэтому \IA A = \IA P = 90◦ и точка A лежит на окруж-
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.