Задание №180941: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
В остроугольном треугольнике ABC точка M — середина меньшей дуги BC описанной окружности. Окружность ! касается сторон AB, AC в точках P, Q соответственно и проходит через точку M. Докажите,что BP + CQ = PQ.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
В остроугольном треугольнике ABC точка M — середина меньшей
дуги BC описанной окружности. Окружность ω касается сторон AB, AC в точках
P, Q соответственно и проходит через точку M. Докажите,что BP + CQ = PQ.
Решение. Из условия следует, что \PAQ = (⌣ PMQ− ⌣ PQ)/2 = π− ⌣ PQ =
π − 2\PMQ, т.е. \PMQ = \APQ. Значит, PM и QM — биссектрисы углов BPQ,
CQP соответственно, а M — центр вневписанной окружности треугольника APQ.
Тогда, опустив перпендикуляры MX, MY на AB, AC соответственно, получим, что
PX = QY = PQ/2. Кроме того, поскольку MB = MC, то BX = CY (рис. 3).
Следовательно, BP + QC = PX + XB + QY − Y C = PQ.
A
P
Q
X
B C
Y
M
Рис. 3.
Используемые формулы
Докажите,что BP + CQ = PQ.Из условия следует, что \PAQ = (⌣ PMQ− ⌣ PQ)/2 = π− ⌣ PQ =π − 2\PMQ, т.е.\PMQ = \APQ.PX = QY = PQ/2.Кроме того, поскольку MB = MC, то BX = CY (рис.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.