Задание №180940: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024

Даны три попарно различные точки на прямой. Сколько существует
равнобедренных треугольников, в которых они являются (в каком-нибудь порядке)
центрами описанной, вписанной и вневписанной окружностей?

Ответ. Два, если отношение частей, на которые средняя точка делит отрезок между
двумя крайними, не превосходит 3, и три в противном случае.
Решение. Пусть ABC — равнобедренный треугольник с вершиной C; O, I, I —
c
центры его описанной, вписанной и вневписанной (касающейся AB) окружностей
соответственно. Тогда точки A, B, I, I лежат на окружности с диаметром II , цен-
c c
тром которой является середина W дуги AB. Поэтому, если даны точки O, I, I , то
c
для построения треугольника ABC нужно найти середину W отрезка II , построить
c
окружности с центрами O, W и радиусами OW, WI соответственно, найти точки
1

A и B пересечения этих окружностей, а также точку C, симметричную W отно-
сительно O. При этом точка I должна лежать внутри описанной окружности. Это

условие всегда будет выполнено, если O — одна из двух крайних точек (тогда I —
средняя точка). Если же O — средняя из трех точек, то должно выполняться условие
OW > OI, т.е. OI : OI > 3.
c