Задание №180939: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
Биссектрисы AI и CI пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A , C соответственно. Описанная окружность треугольника AIC пересекает 1 1 1 сторону AB в точке C ; аналогично определим A . Докажите, что точки A ; A , C , 0 0 0 1 0 C лежат на одной прямой. 1
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Биссектрисы AI и CI пересекают описанную окружность треугольни-
ка ABC в точках A , C соответственно. Описанная окружность треугольника AIC
1 1 1
пересекает сторону AB в точке C ; аналогично определим A . Докажите, что точки
0 0
A , A , C , C лежат на одной прямой.
0 1 0 1
Решение. Пусть прямая A C пересекает AB в точке A′. Тогда
1 1
\C A ′ A = (⌣ AC + ⌣ BA )/2 = (⌣ AC + ⌣ A C)/2 = \C IA.
1 1 1 1 1 1
Следовательно, точки A, I, A′, C лежат на одной окружности и A′ совпадает с A
1 0
(рис. 1). Аналогично получаем, что A C проходит через C .
1 1 0
B
C
1
A′
A
1
I
A C
Рис. 1.
Используемые формулы
\C A ′ A = (⌣ AC + ⌣ BA )/2 = (⌣ AC + ⌣ A C)/2 = \C IA.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.