Задание №180916: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
Пусть L — середина меньшей дуги AC описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Из вершины B на касательную к описанной окружности, провед¨енную в точке L, опустили перпендикуляр BP. Докажите, что точки P, L и середины сторон AB и BC лежат на одной окружности.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
.(cid:204)(cid:224)(cid:240)(cid:228)(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) L (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) (cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:252)ł(cid:229)Ø (cid:228)(cid:243)ªŁ AC (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:238)æ(cid:242)-
(cid:240)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC. ¨(cid:231) (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237)ß B (cid:237)(cid:224) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:243)(cid:254) Œ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:4)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) L, (cid:238)(cid:239)(cid:243)æ(cid:242)ŁºŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240) BP. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ
P, L Ł æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) AB Ł BC º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) M, N Ł K (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) AB, BC Ł AC; H (cid:22) (cid:238)æ(cid:237)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:226)ß-
æ(cid:238)(cid:242)ß, (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:228)…(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø Ł(cid:231) (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237)ß B. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) H (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:238)Ø (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) BP Ł AC.
(cid:223)æ(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MN (cid:107) AC (cid:107) PL, (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), MPLN (cid:22) (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)Ł(cid:255). ¨(cid:231)(cid:226)(cid:229)æ(cid:242)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MHKN (cid:22)
(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:238)Œ(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)Ł(cid:255), (cid:239)(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) ∠MHP = ∠NKL, MH = KN. (cid:210)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) (cid:239)(cid:238)(cid:237)(cid:255)(cid:242)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238)
PH = KL. ˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ MHP Ł NKL, (cid:242)(cid:238) (cid:229)æ(cid:242)(cid:252) MPLN (cid:22) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)-
Æ(cid:238)Œ(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)Ł(cid:255) ((cid:240)Łæ.1), (cid:224) (cid:242)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ P, L Ł æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) AB Ł BC º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224)
(cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.
B
N M
K H
C A
L P
—Łæ. 1.
Используемые формулы
PH = KL.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.