Задание №180835: Командная олимпиада 2021
Назовем натуральное число приятным, если оно не делится на 47. Докажите, что в любом множестве из 10000 приятных чисел можно выбрать подмножество из 2021 элемента так, что любая знакопеременная сумма его пяти элементов тоже будет приятной. Дляцелыхчиселприятностьопределяетсяаналогично.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2021» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Решение. Будемназыватьмножествочиселприятным,еслионоудовлетворяетусловию.
Заметим, что множество 𝐴 нечетных чисел от −9 до 9 является приятным, поскольку в
таком множестве любая искомая сумма будет нечетной и не более 45 по модулю. Рас-
смотрим множества
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 | ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∶ 𝑘𝑥 ≡ 𝑎 (mod 47)}.
𝑘
Легковидеть,чтопри𝑘 = 1,2,...,46такиемножествабудутприятными.Еслибывкаждом
из этих множеств было меньше искомого количества, то суммарно их будет не более 46⋅
2020 = 92920. В то же время каждый 𝑥 мы посчитали в 10 множествах, а значит должно
всего получиться 10 ⋅ 10000 = 100000.
Используемые формулы
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 | ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∶ 𝑘𝑥 ≡ 𝑎 (mod 47)}.Легковидеть,чтопри𝑘 = 1,2,...,46такиемножествабудутприятными.Еслибывкаждом2020 = 92920.всего получиться 10 ⋅ 10000 = 100000.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.