Задание №180834: Командная олимпиада 2021
На окружности с центром в точке 𝑂 отмечены точки 𝐴,𝐵,𝐶 (именно в таком порядке). Известно, что ∠𝐴𝑂𝐵 = 36∘, ∠𝐵𝑂𝐶 = 72∘. Прямые 𝑀𝐶 и 𝑂𝐵 пересекаются в точке 𝑋, где 𝑀 — середина отрезка 𝐴𝑂. На отрезке 𝑂𝐵 отмечена точка 𝑌 так, что 𝐵𝑌 = 𝑂𝑋. Докажите, что 𝐶𝑌 равняется радиусу окружности. 2
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2021» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Решение. Пусть𝑂𝐵 пересекает𝐴𝐶 вточке𝑌′,а𝑟–радиусокружности.Посчитаемуголоч-
ки в равнобедренных треугольниках 𝐴𝑂𝐵 и 𝐵𝑂𝐶: ∠𝐴𝐵𝑂 = ∠𝐵𝐴𝑂 = 72∘;∠𝑂𝐶𝐴 = ∠𝑂𝐴𝐶 =
36∘. Далее получаем, что ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝑂𝐴𝐵 − ∠𝑂𝐴𝐶 = 72∘ − 36∘ = 36∘ и ∠𝐴𝑌′𝐵 = ∠𝑂𝑌′𝐶 =
180∘ − ∠𝐶𝑂𝑌′ − ∠𝑂𝐶𝑌′ = 72∘. Из полученных тождеств получаем, что треугольники
𝑂𝐶𝑌′,𝐵𝐴𝑌′,𝐴𝑌′𝑂 равнобедренные (𝑥 = 𝐴𝐵 = 𝐴𝑌′ = 𝑌′𝑂; 𝑟 = 𝑂𝐶 = 𝐶𝑌′). Т.к. 𝑟 = 𝐶𝑌′,
то осталось показать, что 𝑌 = 𝑌′ или 𝑂𝑋 = 𝐵𝑌′. Далее из подобия треугольников 𝑂𝐴𝑌′ и
𝐶𝐴𝑂;теоремыМенелаядлятреугольника𝑂𝑌′𝐴ипрямой𝑀𝐶исвойствабиссектрисы𝐴𝑌′
7
𝑂𝐴 𝑂𝑌′ 𝐴𝑀 𝑂𝑋 𝑌′𝐶
в треугольнике 𝐴𝑂𝐵 мы получаем следующие отношения: = ; ⋅ ⋅ =
𝐶𝐴 𝑂𝐴 𝑂𝑀 𝑋𝑌′ 𝐶𝐴
𝐴𝑂 𝑌′𝑂 𝑟 𝑥 𝑂𝑋 𝑟
1; = . В терминах 𝑟 и 𝑥 они переписываются так: = ; ⋅ =
𝐴𝐵 𝑌′𝐵 𝑟 + 𝑥 𝑟 𝑥 − 𝑂𝑋 𝑟 + 𝑥
𝑟 𝑥
1; = . Выражая из последнего 𝐵𝑌′, а из второго 𝑂𝑋, легко проверить их равенство,
𝑥 𝐵𝑌′
пользуясь первым тождеством.
8
Используемые формулы
ки в равнобедренных треугольниках 𝐴𝑂𝐵 и 𝐵𝑂𝐶: ∠𝐴𝐵𝑂 = ∠𝐵𝐴𝑂 = 72∘;∠𝑂𝐶𝐴 = ∠𝑂𝐴𝐶 =Далее получаем, что ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝑂𝐴𝐵 − ∠𝑂𝐴𝐶 = 72∘ − 36∘ = 36∘ и ∠𝐴𝑌′𝐵 = ∠𝑂𝑌′𝐶 =180∘ − ∠𝐶𝑂𝑌′ − ∠𝑂𝐶𝑌′ = 72∘.𝑂𝐶𝑌′,𝐵𝐴𝑌′,𝐴𝑌′𝑂 равнобедренные (𝑥 = 𝐴𝐵 = 𝐴𝑌′ = 𝑌′𝑂;𝑟 = 𝑂𝐶 = 𝐶𝑌′).𝑟 = 𝐶𝑌′,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.