Задание №180885: Командная олимпиада 2021
В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝑂 — центр описанной окружности. Точки 𝐸 и𝐹 выбранынасторонах𝐴𝐵и𝐴𝐶соответственно,причем∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐸𝑂𝐹.Докажите,чтопериметр треугольника𝐴𝐸𝐹 неменьше,чем𝐵𝐶.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2021» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Решение.
1
Отразим точку 𝐴 относительно 𝑂𝐸 и 𝑂𝐹. Получим точки 𝐴′ и 𝐴″, которые лежат на опи-
санной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶. Треугольники 𝐴′𝑂𝐴″ и 𝐵𝑂𝐶 равны по первому
признаку (𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴″, ∠𝐴′𝑂𝐴″ = 2∠𝐸𝑂𝐹 = 2∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵𝑂𝐶). Тогда 𝑃 =
𝛥𝐴𝐸𝐹
𝐴𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝐴 = 𝐴′𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝐴″ ⩾ 𝐴′𝐴″ ⩾ 𝐵𝐶.
Используемые формулы
признаку (𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴″, ∠𝐴′𝑂𝐴″ = 2∠𝐸𝑂𝐹 = 2∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵𝑂𝐶).Тогда 𝑃 =𝐴𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝐴 = 𝐴′𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝐴″ ⩾ 𝐴′𝐴″ ⩾ 𝐵𝐶.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.