Задание №180833: Командная олимпиада 2021
Надоскенарисованонесколькоточек.Каждуюсекундувыбираюткакие-тотри точки, и заменяют их на середины соединяющих их отрезков. Докажите, что через некоторое время найдутся три точки, которые можно накрыть кругом радиуса 1.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2021» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Решение. Будем следить за суммой квадратов попарных расстояний.
Пусть текущая тройка точек — 𝐴,𝐵,𝐶, а точка 𝐷 ещё одна точка из множества. Поставим
𝐷 в начало координат. Сумма квадратов расстояний от 𝐷 до меняющихся изменится
𝑎 + 𝑏 2 𝑎 + 𝑐 2 𝑐 + 𝑏 2
с 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 на ( ) + ( ) + ( ) .
2 2 2
Нетрудно доказать, что сумма квадратов не увеличилась. А сумма квадратов, относяща-
яся к попарным расстояниям меняющихся точек, уменьшается в 4 раза.
Есликаждыйразтройка𝐴,𝐵,𝐶 несодержаласьвкругерадиуса1,тосуммаквадратовсто-
рон была уж точно больше 1, значит общая сумма квадратов на каждом из сколь угодно
3
большого числа шагов уменьшалась минимум на , что невозможно.
4
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.