Задание №180917: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке E. Окружность с центром в точке E лежит внутри прямоугольника. Из вершин C, D, A проведены касательные к окружности CF, DG, AH, причем CF пересекает DG в точке I, EI пересекает AD в точке J, а прямые AH и CF пересекаются в точке L. Докажите, что отрезок LJ перпендикулярен AD.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(cid:238)æŒ(cid:226)Ł(cid:242)Ł(cid:237)) (8) ˜Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)ºŁ (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABCD (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) E. ˛Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) E º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:226)(cid:237)(cid:243)(cid:242)(cid:240)Ł (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224). ¨(cid:231) (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237) C, D, A (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)-
(cid:228)(cid:229)(cid:237)ß Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß(cid:229) Œ (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł CF, DG, AH, (cid:239)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:236) CF (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) DG (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) I,
EI (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) AD (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) J, (cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) AH Ł CF (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) L. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229),
(cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)(cid:238)Œ LJ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:229)(cid:237) AD.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) DG Ł AH æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)ß (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238)
(cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:224) Œ AD, (cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) AH Ł CF (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)-
º(cid:255)(cid:240)(cid:224) Œ AC, (cid:242)(cid:238) ∠CID = 2∠EAD = ∠CED, (cid:242).(cid:229). (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ C, D, I, E º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)-
(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł. ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) ∠AEI = ∠CDI, (cid:224) (cid:242)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ ∠AEL = ∠ADC = 90◦, (cid:242)(cid:238)
∠JEL = ∠IDA = ∠JAL. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A, J, E, L º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł Ł ∠AJL = 90◦ ((cid:240)Łæ.2).
1
B C
E
L
I
A D
J
—Łæ. 2.
Используемые формулы
º(cid:255)(cid:240)(cid:224) Œ AC, (cid:242)(cid:238) ∠CID = 2∠EAD = ∠CED, (cid:242).(cid:229).ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) ∠AEI = ∠CDI, (cid:224) (cid:242)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ ∠AEL = ∠ADC = 90◦, (cid:242)(cid:238)∠JEL = ∠IDA = ∠JAL.(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł Ł ∠AJL = 90◦ ((cid:240)Łæ.2).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.