Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2023Олимпиадный

Задание №180931: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023

Условие

Общая внешняя касательная к окружностям ω и ω касается их в точках T , 1 2 1 T соответственно. Пусть A — произвольная точка на продолжении отрезка T T за 2 1 2 точку T , а B — точка на продолжении отрезка T T за точку T такая, что AT = 1 1 2 2 1 = BT . Отличные от прямой T T касательные из A к ω и из B к ω пересекаются в 2 1 2 1 2 точке C. Докажите, что нагелианы всех треугольников ABC из вершины C проходят через одну точку.

📎 zaoch_2023.pdf📎 zaoch_sol_2023.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
Организатор
Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
Год материала
2023
Материалы
2 файла
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2023Олимпиада Шарыгина 2023 · тип 17анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

(cid:224)(cid:242)(cid:243)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (9(cid:21)11) ˛Æø(cid:224)(cid:255) (cid:226)(cid:237)(cid:229)ł(cid:237)(cid:255)(cid:255) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) Œ (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:255)(cid:236) ω Ł ω Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255)
1 2
Łı (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı T , T æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) A (cid:22) (cid:239)(cid:240)(cid:238)Ł(cid:231)(cid:226)(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)º(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ
1 2
(cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:224) T T (cid:231)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) T , (cid:224) B (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)º(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:224) T T (cid:231)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) T
1 2 1 1 2 2
(cid:242)(cid:224)Œ(cid:224)(cid:255), (cid:247)(cid:242)(cid:238) AT =
1
= BT . ˛(cid:242)ºŁ(cid:247)(cid:237)ß(cid:229) (cid:238)(cid:242) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø T T Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß(cid:229) Ł(cid:231) A Œ ω Ł Ł(cid:231) B Œ ω (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226)
2 1 2 1 2
(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) C. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:237)(cid:224)ª(cid:229)ºŁ(cid:224)(cid:237)ß (cid:226)æ(cid:229)ı (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) ABC Ł(cid:231) (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237)ß C (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)(cid:242)
(cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:243) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243).
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)(cid:229)(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:226)æ(cid:229) (cid:237)(cid:224)ª(cid:229)ºŁ(cid:224)(cid:237)ß (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)(cid:242) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:226)(cid:237)(cid:243)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:229)Ø ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø. ˜º(cid:255) (cid:253)(cid:242)(cid:238)ª(cid:238) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:244)(cid:238)(cid:240)(cid:236)(cid:243)ºŁ(cid:240)(cid:243)(cid:229)(cid:236) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:243): (cid:239)(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) (cid:228)(cid:224)(cid:237) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABC, (cid:242)(cid:238)(cid:247)-
ŒŁ T , T (cid:237)(cid:224) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:229) AB æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)ß (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:229)(cid:229) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß, (cid:228)(cid:226)(cid:229) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł,
1 2
(cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229) (cid:226) (cid:243)ªºß A Ł B, Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) AB (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı T , T æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)
1 2
(cid:226)(cid:237)(cid:243)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:229)Ø ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:237)(cid:224)ª(cid:229)ºŁ(cid:224)(cid:237)(cid:229) CD.
˙(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)Ł (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ T , T (cid:239)(cid:238) AB (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)ß (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:243)(cid:242)æ(cid:255) (cid:239)(cid:238)
1 2
ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ(cid:224)(cid:236) (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226) A Ł B æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238), (cid:224) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) Łı (cid:240)(cid:224)(cid:228)Ł(cid:243)æ(cid:238)(cid:226) (cid:238)æ(cid:242)(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:240)(cid:224)(cid:226)-
(cid:237)ß(cid:236) ctg A : ctg B = AD : BD. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:239)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø,
2 2
(cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:229)Ø (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) D. ˇ(cid:240)Ł (cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236), (cid:239)(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) AC +AD = BC +BD, (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ACD (cid:239)(cid:240)Ł (cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236) (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:243)(cid:229)(cid:242) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252)
(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) BCD ((cid:240)Łæ.17). ˛(cid:247)(cid:229)(cid:226)Ł(cid:228)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ (cid:253)(cid:242)Łı (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø º(cid:229)-
(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) CD. ˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), (cid:253)(cid:242)(cid:238) (cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:237)(cid:238) (cid:228)º(cid:255) º(cid:254)Æ(cid:238)Ø (cid:239)(cid:224)(cid:240)ß (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø.
10

C










A B
T D T
1 2
—Łæ. 17.

Используемые формулы

  • (cid:242)(cid:224)Œ(cid:224)(cid:255), (cid:247)(cid:242)(cid:238) AT =
  • = BT .
  • (cid:237)ß(cid:236) ctg A : ctg B = AD : BD.

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: