Задание №180929: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
Дан выпуклый четыр¨ехугольник ABCD. Точки X и Y лежат на продолжениях за точку D сторон CD и AD соответственно, причем DX = AB и DY = BC. Аналогично, точки Z и T лежат на продолжениях за точку B сторон CB и AB, причем BZ = AD и BT = DC. Пусть M — середина XY , M — середина ZT. Докажите, 1 2 что прямые DM , BM и AC пересекаются в одной точке. 1 2
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
.(cid:204)(cid:224)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:229)(cid:226)) (9(cid:21)10) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)ß(cid:239)(cid:243)ŒºßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:4)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABCD. (cid:210)(cid:238)(cid:247)ŒŁ X Ł Y º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224)
(cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)º(cid:230)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255)ı (cid:231)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) D æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) CD Ł AD æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238), (cid:239)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:236) DX = AB Ł
DY = BC. (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238), (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ Z Ł T º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)º(cid:230)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255)ı (cid:231)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) B æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) CB
Ł AB, (cid:239)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:236) BZ = AD Ł BT = DC. ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) M (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) XY , M (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) ZT.
1 2
˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) DM , BM Ł AC (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229).
1 2
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) DM (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) AC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) P. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) sin∠ADP : sin∠CDP =
1
sin∠Y DM : sin∠XDM = XD : Y D = AB : BC. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), AP : CP =
(AB · AD) : (CB · CD). (cid:210)(cid:224)Œ(cid:238)(cid:229) (cid:230)(cid:229) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236) (cid:228)º(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) AC æ
(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø BD .
2
Используемые формулы
DY = BC.Ł AB, (cid:239)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:236) BZ = AD Ł BT = DC.(cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) sin∠ADP : sin∠CDP =sin∠Y DM : sin∠XDM = XD : Y D = AB : BC.(cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), AP : CP =
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.