Задание №180956: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024

(Д.Швецов) Пусть AA , BB , CC — высоты остроугольного треугольника
1 1 1
ABC; I — центр вневписанной окружности, соответствующей вершине A; I′ — точ-
a a
ка, симметричная I относительно прямой AA . Аналогично построим точки I′, I′.
a 1 b c
Докажите, что прямые A I′, B I′, C I′ пересекаются в одной точке.
1 a 1 b 1 c
Первое решение. Прямые A A, A B, A A′ и A I образуют гармоническую четвер-
1 1 1 1 a
ку. Следовательно, точки их пересечения с биссектрисой AL тоже образуют гармони-
ческую четверку. Так как точкой, дополняющей A, L, I до гармонической четверки
a
является центр I вписанной в треугольник ABC окружности, прямая A A′ проходит
1
через I. Аналогично B B′ и C C′ проходят через I.
1 1
Это рассуждение можно провести немного иначе. Так как прямые A A, A B, A I и
1 1 1
A I образуют гармоническую четверку и A A ⊥ A B, прямые A A и A B являются
1 a 1 1 1 1
биссектрисами углов между A I и A I . Следовательно, A A′ проходит через I.
1 1 a 1
Второе решение. Докажем, что прямые A I , B I , C I пересекаются в одной
1 a 1 b 1 c
точке. Тогда прямые A A′, B B′, C C′, симметричные им относительно биссектрис
1 1 1
треугольника A B C также пересекутся в одной точке. Заметим, что, например,
1 1 1
sin\I I A : sin \I I A = (BA : CA ) · (I C : I B). Применяя теорему Чевы к
b a 1 c a 1 1 1 a a
тройкам прямых I A, I B, I C и AA , BB , CC , получаем, что произведение этого
a b c 1 1 1
и двух аналогичных отношений равно 1.
Примечание. Утверждение задачи является частным случаем следующего факта.
Если точки A , B , C лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC, а точ-
1 1 1
ки A , B , C лежат на сторонах B C , C A , A B треугольника A B C , причем
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
прямые AA , BB , CC пересекаются в одной точке и прямые A A , B B , C C пе-
1 1 1 1 2 1 2 1 2
ресекаются в одной точке, то и прямые AA , BB , CC пересекаются в одной точке.
2 2 2