Задание №180809: Командная олимпиада 2024
Найдите все натуральные k удовлетворяющие условию: при любой раскраске натурального ряда в k цветов найдутся одноцветные числа a , a , 1 2 ..., a , для которых разности a − a , a − a , ..., a − a являются 2025 2 1 3 2 2025 2024 натуральными степенями 2.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2024» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: k = 1,2.
Решение. Легко видеть, что при раскраске чисел в три цвета: БСКБСКБСК...
не найдутся числа с разностью,равной степени двойки, так как любая разница
между одноцветными числами делится на 3. Для большего числа цветов доста-
точно просто перекрасить какие-то числа в новые цвета. Остается разобраться
со случаями k = 1,2. В первом случае очевидно, что такие числа найдутся. На-
пример, соответствующие степени двойки. Во втором случае возьмем 1 и будем
последовательно добавлять числа, отличающиеся от предыдущего на степень
двойки. Если мы не собрали нужный комплект чисел, то в какой-то момент для
текущего числа n всевозможные сдвиги на степени двойки дают числа другого
цвета. Тогда можем выкинуть все ранее выбранные числа и взять эти сдвиги в
нужном количестве. Разницы между соседями тоже будет степенями двойки.
Олимпиада BxMO, 2023
Используемые формулы
Ответ: k = 1,2.со случаями k = 1,2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.