Командная олимпиада 2024 — Математика
16 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
На столе лежит в ряд 2024 карточки красной стороной вверх, синей стороной вниз. Двое по очереди делают ходы. За ход разрешается выбрать 50 последовательных карточек, самая левая из…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
На сборах n ребят выбрали себе интересные спецкурсы. Оказалось, что на каждый спецкурс записалось ровно три школьника, но никакие два спецкурса не пересекаются ровно по одному школ…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Пусть G – простой граф на n вершинах, имеющий более 2 ребер. Докажите, что G имеет путь длины k.…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Сколько существует решений в целых числах у уравнения m3 + n3 + 99mn = 333, для которых mn ⩾ 0?…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Пусть A – подмножество натуральных чисел, обладающее 2 свойствами: 1) Если a принадлежит A, то все делители a тоже принадлежат A; 2) Если a и b (1 < a < b) принадлежат A, то 1 + ab…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Для заданного рационального числа x ∈ (0,1) рассматривается число y ∈ (0,1), у которого n-ая цифра в десятичной записи после запятой это (2n)-ая цифра в десятичной записи после зап…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Дан многочлен P(x) = a xd +...+a x2 +a с натуральными коэфd 2 0 фициентами и степенью d ⩾ 2. Определим последовательность b = a ,b = 1 0 n+1 P(b ) при n ⩾ 1. Докажите, что при любо…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Найдите все натуральные k удовлетворяющие условию: при любой раскраске натурального ряда в k цветов найдутся одноцветные числа a , a , 1 2 ..., a , для которых разности a − a , a −…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC все стороны выражаются целыми числами. Вписанная окружность треугольника касается сторон BC и AC в точках D и E соответственно. Оказалось, что |AD2 −BE2| ⩽ 2. Ве…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC угол ∠BAC прямой. Пусть I – центр вписанной окружности ABC, а точки D и E – основания биссектрис на сторонах AC и AB соответственно. Точки P и Q на стороне BC та…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Точка I – центр вписанной окружности ABC. Основания перпендикуляров, опущенных из точки I на стороны BC,CA и AB это D,E и F соответственно. Пусть K – точка, симметричная D относите…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Во вписанном шестиугольнике ABCDEF выполнены условия AB = BC = CD = DE. Точка K выбрана на отрезке AE таким образом, что ∠BKC = ∠KFE и ∠CKD = ∠KFA. Докажите, что KC = KF.…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Некоторое множество на плоскости покрыто несколькими открытыми кругами. При каком минимальном k можно гарантированно выбрать несколько не пересекающихся кругов и раздуть в k раз та…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
На треугольной сетке выбран правильный треугольник со стороной n. Его разбили на n2 треугольников равной площади с вершинами в узлах сетки. Какое наименьшее число треугольников раз…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №9 · Математика · Олимпиада
Двое по очереди проводят ребра изначально пустого графа на n вершинах (n ⩾ 3). Проигрывает тот, после чьего хода в графе образуется нечетный цикл. При каких n выигрывает начинающий…
Командная олимпиада 2024 · ОлимпиадныйЗадание №10 · Математика · Олимпиада
Есть 9 неразличимых на вид монет, одна из которых легче остальных. Также есть трое двухчашечных весов, из которых двое показывают правильный результат взвешивания, а оставшиеся мог…
Командная олимпиада 2024 · Олимпиадный