Задание №180808: Командная олимпиада 2024
Для заданного рационального числа x ∈ (0,1) рассматривается число y ∈ (0,1), у которого n-ая цифра в десятичной записи после запятой это (2n)-ая цифра в десятичной записи после запятой числа x. Может ли y оказаться иррациональным?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2024» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: Нет, не может.
Решение. Пусть d – длина периода в десятичной записи числа x. Запишем
d = 2kt, где t – нечетно. Выберем такое натуральное s, что 2s ≡ 1 (mod k).
Такое существует, можно взять s = φ(k). Тогда 2n+s ≡ 2n (mod k) при любом
натуральном n. При n > k 2n+s ≡ 2n ≡ 0 (mod 2k). Но тогда при достаточно
большом n 2n+k ≡ 2n (mod d), а значит (2n+k)-ая цифра в десятичной записи
числа будет находиться на том же месте цикла, что и (2n)-ая цифра. А это зна-
чит, что с некоторого момента произойдет зацикливание. Следовательно, новое
число тоже будет рациональным.
Шорт-лист международной олимпиады, 2006
Используемые формулы
d = 2kt, где t – нечетно.Такое существует, можно взять s = φ(k).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.