Задание №180822: Командная олимпиада 2024
Некоторое множество на плоскости покрыто несколькими открытыми кругами. При каком минимальном k можно гарантированно выбрать несколько не пересекающихся кругов и раздуть в k раз так, что множество будет покрыто новыми кругами?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2024» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: 3.
Решение.
Покажем, что меньше 3 нельзя. Рассмотрим два единичных круга, которые
зацеплены на ϵ. Легко видеть, что выбрать из них можно лишь один круг, а
раздуть его придется в 3 − ϵ раз. Ясно, что какое бы меньшее 3 число мы не
взяли, то можно так подобрать ϵ, чтобы у нас не получилось.
Покажем, что для k = 3 это возможно. Выберем самый большой круг, затем са-
мый большой из тех, что не пересекается с предыдущим, потом самый большой,
который не пересекается с ранее выбранными и т.д. Посмотрим, что произой-
дет после раздувания выбранных кругов. Рассмотрим круг U, который мы не
выбрали, пересекается с кем-то из выбранных. Выберем самый большой круг
S из тех, с кем U пересекся. В силу выбора U не более, чем S, а значит при
увеличении радиуса S в 3 раза круг U будет накрыт.
Putnam, 1998, вариация
Используемые формулы
Покажем, что для k = 3 это возможно.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.