Задание №180815: Командная олимпиада 2024
На столе лежит в ряд 2024 карточки красной стороной вверх, синей стороной вниз. Двое по очереди делают ходы. За ход разрешается выбрать 50 последовательных карточек, самая левая из которых лежит красной стороной вверх и перевернуть их. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков сможет гарантированно победить?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2024» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: Второй.
Решение.
Заметим, что если закодировать красный цвет 1, а синий – 0, то получается,
что мы каждым ходом должны уменьшать число на доске, а такое не может
продолжаться бесконечно, поэтому игра закончится.
Выделим 40 карточек, которые лежали на позициях с номерами, кратными 50.
Каждым ходом меняется состояние ровно одной из этих карточек, а значит
перед ходом второго всегда нечетное количество таких красных карт. Следова-
тельно, второй всегда сможет сделать ход. Тогда он победит.
Шорт-лист международной олимпиады, 2009
n(k − 1)
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.