Задание №180820: Командная олимпиада 2024

Ответ: Да, верно.
Решение.
Обозначим стороны треугольника BC = a, AC = b и AB = c. Имеем CE =
a + b − c
CD = . Запишем теоремы косинусов вокруг угла C для треугольников
2
a2 + b2 − c2
ABC, ADC и BEC. Из первого треугольника имеем cosC = . Из
2ab
(a + b − c)2
двух оставшихся AD2 = b2 + − b(a + b − c)cosC и BE2 = a2 +
4
(a + b − c)2
− a(a + b − c)cosC. Тогда имеем
4
a − b
BE2 − AD2 = (a2(−a + b + c) + b2(a − b + c) + c2(a + b − c)).
2ab
Пусть треугольник не является равнобедренным. Тогда можно считать, что
a > b. Так как стороны целые, то c > 1, чтобы выполнялось неравенство тре-
угольника. А значит c ⩾ 2. Обозначим k разницу a − b. Если k ⩾ 2, то выразим
a как b + k в исходном выражении разности BE2 − AD2 и получим оценку
k (cid:0) (b + k)2(c − k) + b2(c + k) + c2(2b + k − c) (cid:1) ⩾ 2((b + k)2 + b2) > 2.
2(b + k)b 2(b + k)b
При k = 1 нужно воспользоваться оценкой разность квадратов из условия пе-
реписывается в виде 1 (cid:0) (b + 1)2(c − 1) + b2(c + 1) + c2(2b + 1 − c) (cid:1) . Заме-
2(b + 1)b
тим, что 2 ⩽ c ⩽ a + b − 1 = 2b, а также что минимум f(c) = c2(2b + 1 − c) на
отрезке [2;2b] достигается в левом конце. Следовательно, он равен f(2) = 8b−4.
Получаем оценку 1 (cid:0) (b + 1)2 · 1 + b2 · 3 + 8b − 4 (cid:1) = 2 + 4b2 + 10b − 3 > 2.
2(b + 1)b 2b2 + 2b

Журнал Crux, 2007, №1