Задание №180812: Командная олимпиада 2024
На треугольной сетке выбран правильный треугольник со стороной n. Его разбили на n2 треугольников равной площади с вершинами в узлах сетки. Какое наименьшее число треугольников разбиения может оказаться правильными?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2024» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: n треугольников.
Решение. Пример: Разобьем каждую из n полос нашего треугольника на па-
раллелограммы со сторонами 1 и 2 и правильный треугольник. В каждом па-
раллелограмме проведем длинную диагональ.
Оценка: Рассмотрим разбиение на треугольники и выберем самую длинную сто-
рону треугольника разбиения. Понятно, что если она лежит на стороне исход-
ного правильного треугольника, то она равна 1, а все треугольники разбиения
√
правильные. Можно считать, что она не меньше 3. Тогда можно считать, что с
каждой из сторон к ней прилегает треугольник. Но в силу того, что мы выбрали
наибольшую сторону, положение точек в каждой из полуплоскостей однозначно
задано. Действительно, если мы нашли две точки в одной полуплоскости, то в
силу выбора исходной стороны на ней тоже должен найтись еще узел. А это про-
тиворечит теореме Пика для треугольной решетки. Рассмотрим теперь первую
сторону и две найденные вершины в каждой из полуплоскостей. Они образуют
параллелограмм. Заменим в нем диагональ на другую. Площади треугольни-
ков не изменились, а сумма периметров треугольников разбиения уменьшилась.
Количество правильных треугольников не изменилось. Понятно, что всего раз-
ных разбиений на треугольники конечное число, поэтому и возможных сумм
периметров тоже конечное число. Следовательно, рано или поздно от таких
√
преобразований мы придем к максимальной длине в разбиении 3. Теперь все
разбивается на параллелограммы со сторонами 1 и 2 а также правильные тре-
угольники. Раскрасим таблицу в шахматном порядке. Тогда каждый паралле-
лограмм дает равный вклад в цвета, а одного цвета на n треугольников больше.
Следовательно, хотя бы n правильных треугольников должно быть.
Тайвань, отбор на IMO, 2016, вариация
Используемые формулы
√
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.