Задание №180160: Зимний турнир Архимеда 20.01.2002

Решение.
Бананы, вес которых больше 100 г, будем называть большими, а все остальные
бананы - маленькими. Положим все бананы в левую кучку (ее сумма Л) и начнем
перекладывать по одному банану в правую в порядке убывания веса (сумма правой
кучки П). Допустим, что на каком-то шаге Л > П+100, а на следующем
Л- х +100 < П+ х (иначе в один из двух моментов мы получим
искомое разложение на 2 кучки); Л < П+400 (иначе при перекладывании
х неравенство бы сохранилось). Вернем х на место и попробуем
перекладывать другие бананы из Л в П. Пусть при попытке преложить любой
большой банан, будет Л-б+100 < П+б, а при попытке переложить
маленький Л-м > П+м-100. Переложим все маленькие направо по очереди.
Либо в процессе разница станет <100 (мы перекладывам маленькие бананы),
либо переложив все(М) маленькие бананы все имеем Л-М > П+М+100.
Учитывая Л<П+400 получим М < 150, но м > 20, число
маленьких бананов < 7. Так как число тяжелых > 93 и
сумма их < 9850, то среднее арифметическое тяжелых бананов
<106 пусть у - самый легкий из тяжелых у <106 и у
лежит в Л; мы знаем, что Л- у +100 < П+ у
(перложив любой тяжелый, например у , перевесит П хотя бы на 100) и что
Л-м > П+м+100 (при перекладывании м направо Л будет тяжлее хотя бы
на 100), значит у у-м > 100 но у <106, м > 20
значит одно из последних неравенств неверно, и можно уравновесить одним
из этих способов.