Задание №180161: Зимний турнир Архимеда 20.01.2002
( 8 баллов ) На доске написано число 19921993...20012002 . Разобьем произвольным образом его десятичную запись на два числа и сложим их. С полученным числом проделаем аналогичную операцию и т. д., до тех пор пока не получится однозначное число. Какое число может получиться? Исследуйте все возможности.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Зимний турнир Архимеда 20.01.2002» и рассчитано на уровень 6 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Математические турниры «Архимед» — официальный архив · 2002
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Математические турниры «Архимед» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2002
- Материалы
- 0 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Зимний турнир Архимеда 20.01.2002» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: 7.
Решение.
Пусть в результате разбиения получены числа x и y , тогда
исходное число имело вид x *10...0 и y , а число, полученное в
результате разбиения -( x + y ). Рассмотрим разность этих чисел:
( x *10...0+ y )-( x + y )=99...9 x .
Так как эта разность кратна 9, то исходное и полученное число имеют одинаковые
остатки от деления на 9. Следовательно, каждый раз, при выполнении указанной
операции этот остаток является инвариантом.
Остаток при делении на 9 числа 19921993...20012002 равен 7.
Верный ответ без обоснований - 1 балл;
есть идея инварианта, но решение не доведено до конца - 5 баллов;
разумная попытка обоснования идеи - 6 баллов.
Список победителей
После фамилии и имени указаны номера школ (и для немосковских школ - город).
I премия
Николаев Тимофей 1514
Пиперски Александр 125
II премия
Белов Борис 2
Девятов Ростислав 2
Колобков Дмитрий 1514
Простов Михаил 151
Сорина Ольга 1825
Швец Виолетта 2
III премия
Авдеев Вадим 2
Артюшкин Андрей 1018
Арутюнов Владимир 1534
Беклемишев Илья 654
Быховская Анна 1514
Волков Антон 1514
Горбачев Денис 1020
Горбун Никита 548
Горбунов Дмитрий 535
Гречинкова Мария 17
Грицай Ярослав 1018
Грушников Андрей 1543
Грязнова Александра 1266
Губенко Максим 218
Дубровский Андрей 1018
Жулидова Анна 4
Заборовский Дмитрий 1189
Золотых Алексей 2 Фрязино
Киселев Александр 1189
Колотыркина Софья 354
Кравец Алексей 354
Лапицкий Антон 1543
Логачёв Юрий 57
Лысов Михаил 1 Дзержинский
Мамыкина ? 1514
Медянкин Никита 1514
Меркулов Максим 16
Нагорный Илья 7
Носихина Мария 1260
Оганесян Дима 2
Ошемкова Наталья 2 Фрязино
Пономарева Елизавета 1255
Прусов Кирилл 7 Фрязино
Райгородская Мария 199
Реброва Лиза 1106
Саблина Рита 1514
Салимов Денис 1106
Сальников Всеволод 1206
Селегей Даниил 1101
Серегин Александр 40
Скопцов Кирилл 1543
Шинкарев Максим 5
Шорин Алексей 15
Яковлев Иван 1249
Используемые формулы
( x *10...0+ y )-( x + y )=99...9 x .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.