Задание №180158: Зимний турнир Архимеда 20.01.2002
( 6 баллов ) Грузовик . Известно, что грузовик можно заполнить ровно 109 способами упаковками в 3 кг и 5 кг помидоров так, чтобы их общий вес составил x кг. Чему равно x ?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Зимний турнир Архимеда 20.01.2002» и рассчитано на уровень 6 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Математические турниры «Архимед» — официальный архив · 2002
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Математические турниры «Архимед» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2002
- Материалы
- 0 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Зимний турнир Архимеда 20.01.2002» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ. 1620; 1623; 1625; 1626; 1628 - 1634; 1636; 1637; 1639; 1642
(15 чисел).
Решение.
Условию задачи удовлетворяют наборы вида x =5*3 m +3*5 n ,
причем m может принимать значения 0, 1, 2 , ... , 108,
а n соответственно 108, 107, ... 1, 0.
То есть x =15*108=1620 кг является одним из решений задачи.
Заметим, что 3 упаковки по 5 кг и 5 упаковок по 3 кг весят одинаково.
Выделим наборы из 3 упаковок по 5 кг и 5 упаковок по 3 кг.
Тогда x =5*3 m +3*5 n +5 a +3 b , где а
принимает значения 0, 1, 2; b принимает значения 0, 1, 2, 3, 4. Можно
доказать, что тогда числа а и b восстанавливаются однозначно
(алгоритм Евклида или полный перебор). Следовательно, выражение
c = m + n представляется в виде суммы двух слагаемых
ровно ста девятью способами, то есть с = 108. Таким образом, условию
задачи удовлетворяют все наборы вида
x =1620+5 a +3 b , где a может принимать значения
0, 1, 2, а b - 0, 1, 2, 3, 4 - причем независимо друг от друга.
Приведен один из возможных ответов без обоснований - 1 балл;
один из возможных ответов получен в результате верных рассуждений
- 3 балла;
задача решена полностью исходя из предположения, что должны быть упаковки
обоих видов (15*109=1635 кг) - 5 баллов.
Используемые формулы
Условию задачи удовлетворяют наборы вида x =5*3 m +3*5 n ,То есть x =15*108=1620 кг является одним из решений задачи.Тогда x =5*3 m +3*5 n +5 a +3 b , где аc = m + n представляется в виде суммы двух слагаемыхровно ста девятью способами, то есть с = 108.x =1620+5 a +3 b , где a может принимать значения
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.