Задание №180965: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Вневписанная окружность с центром I касается стороны BC треугольника ABC A в точке D. Докажите, что педальные окружности D относительно треугольников ABI и ACI равны. A A
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(К.Бельский) Вневписанная окружность с центром I касается стороны BC тре-
A
угольника ABC в точке D. Докажите, что педальные окружности D относительно
треугольников ABI и ACI равны.
A A
Решение. Пусть P , P , Q , Q , R — проекции точки D на AC, AB, I C, I B,
1 2 1 2 A A
AI соответственно. Так как P , P , R лежат на окружности с диаметром AD и
A 1 2
AR — биссектриса угла P AP , то P R = P R. Кроме того, из вписанных четы-
1 2 1 2
рехугольников CP DQ и I Q DR получаем, что \P Q R = \P Q D + \DQ R =
1 1 A 1 1 1 1 1 1
2
\P CD + \DI R = (\B + \C)/2 (рис. 3). Аналогично \P Q R = (\B + \C)/2. По-
1 A 2 2
скольку в окружностях P Q R и P Q R на равные хорды опираются равные углы,
1 1 2 2
эти окружности равны.
A
P 1 P 2
D
C B
R
Q
1
Q
2
I
A
Рис. 3.
Примечание. Можно также доказать, что окружности P Q R и P Q R касаются в
1 1 2 2
точке R.
Используемые формулы
AR — биссектриса угла P AP , то P R = P R.рехугольников CP DQ и I Q DR получаем, что \P Q R = \P Q D + \DQ R =\P CD + \DI R = (\B + \C)/2 (рис.Аналогично \P Q R = (\B + \C)/2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.