Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 — Математика
24 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC; D — произвольная точка отрезка AC; A ,A – точки пересечения перпендикуляра, опущенного из точки 1 2 D на биссектрису CI, с пр…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
На плоскости даны 4 точки, не лежащие на одной окружности и такие, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Докажите, что найдется точка Z такая, что для любой из данных точе…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Вневписанная окружность с центром I касается стороны BC треугольника ABC A в точке D. Докажите, что педальные окружности D относительно треугольников ABI и ACI равны. A A…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Пусть AL — биссектриса треугольника ABC; X — произвольная точка на внешней биссектрисе угла A; прямые BX, CX пересекают серединный перпендикуляр к AL в точках P, Q соответственно. …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Точка M — середина катета AC прямоугольного треугольника ABC (\C = 90◦). Перпендикуляр, опущенный из точки M на биссектрису угла ABC, пересекает гипотенузу AB в точке N. Докажите, …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Докажите, что если у треугольника одна из сторон его треугольника Нагеля параллельна одной из биссектрис, то ещё одна из сторон треугольника Нагеля параллельна другой биссектрисе.…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Точки I, I являются центром вписанной и A-вневписанной окружности треa угольника ABC; вписанная окружность касается сторон AC, AB в точках E, F; G — точка пересечения BE и CF. Перп…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Во вписанном четырехугольнике ABCD с точкой пересечения диагоналей P на отрезках AC, BD отмечены точки K и L соответственно. При этом CK = AP и DL = BP. Докажите, что прямая, прохо…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №9 · Математика · Олимпиада
Прямая ℓ, проходящая через ортоцентр H треугольника ABC (BC > AB) и параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках D и E соответственно. Прямая, проходящая через центр описан…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №10 · Математика · Олимпиада
Из бумаги вырезан остроугольный треугольник, одна из сторон которого равна опущенной на нее высоте. Постройте внутри треугольника точку, квадрат расстояния от которой до одной из в…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №11 · Математика · Олимпиада
Через точку X проведены три луча, образующие друг с другом углы, равные 120◦. Окружность w радиуса R выбирается произвольным образом так, чтобы точка X лежала внутри неё. Пусть A, …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №12 · Математика · Олимпиада
Даны окружности ω и ω . Пусть M — середина отрезка, соединяющего их 1 2 центры. На ω выбрана точка X, а на ω — точка Y так, что MX = MY . Найдите 1 2 геометрическое место середин о…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №13 · Математика · Олимпиада
Дан выпуклый 2n-угольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны друг другу. (Стороны противоположны, если при движении от одной к другой по контуру 2n-угольника…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №14 · Математика · Олимпиада
На биссектрисе угла B внутри треугольника ABC отметили точку D. Пусть ω и ω — окружности, касающиеся прямых AD и CD в точке D и проходящие 1 2 через точку B; P и Q — отличные от B …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №15 · Математика · Олимпиада
Точка C лежит на биссектрисе острого угла с вершиной S. Точки P, Q — проекции C на стороны угла. Окружность с центром C и радиусом PQ пересекает стороны угла в точках A и B, причем…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №16 · Математика · Олимпиада
Точка Фейербаха неравнобедренного треугольника лежит на биссектрисе одного из его углов. Докажите, что она делит пополам отрезок между вершиной этого угла и центром вписанной окруж…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №17 · Математика · Олимпиада
Пусть O, I — центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного остроугольного треугольника ABC; D, E, F — точки касания его вневписанной окружности со стороной BC и продол…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №18 · Математика · Олимпиада
Дан четырехугольник ABCD. Вневписанные окружности ω и ω треуголь- 1 2 ников ABC и BCD, касающиеся сторон AB и BD соответственно, касаются продолжения стороны BC в общей точке P. От…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №19 · Математика · Олимпиада
Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC; A′, B′, C′ — ортоцентры треугольников BIC, AIC, AIB; M , M , M — середины BC, CA, AB, а a b c S , S , S — середины AA′, BB′, …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №20 · Математика · Олимпиада
Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, а M и N — середины BC и AH соответственно. Перпендикуляр из N к прямой MH пересекает BC в точке A′. Точки B′ и C′ определяются а…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №21 · Математика · Олимпиада
Внутри четырёхугольника ABCD отметили точку P такую, что \APB + \CPD = 180◦. Точки P , P , P , P изогонально сопряжены P в треугольниках BCD, a b c d CDA, DAB, ABC. Докажите, что т…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №22 · Математика · Олимпиада
Даны окружность и лежащий внутри нее эллипс с фокусами F , F . По- 1 2 стройте хорду окружности AB, касающуюся эллипса и такую, что четырехугольник AF F B — вписанный. 1 2…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №23 · Математика · Олимпиада
Будем говорить, что множество M точек плоскости содержит дыру, если существует круг, не содержащийся в M, но содержащийся внутри многоугольника, граница которого лежит в M. Можно л…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · ОлимпиадныйЗадание №24 · Математика · Олимпиада
Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается граней ABC, BCD, CDA, DAB в точках D′, A′, B′, C′ соответственно. Обозначим через S площадь треугольника AB AC′B. Анал√огично опр√еделим …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный